Solution de référence
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Méthode de calcul
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**Calcul de la conservation de la masse d’eau**

La conservation de la masse d'eau :math:`{\mathit{m}}_{\text{eau}}` s’écrit:

.. math::
   :label: 2.1-1

   \frac{dm_{\text{eau}}}{dt} + Div (M_{w} + M_{}v) = 0

Avec :math:`{\mathit{M}}_{\text{w}}` et :math:`{\mathit{M}}_{\text{v}}` les flux d'eau liquide et de vapeur d'eau respectivement.

On écrit que l'apport de masse totale d’eau est égale à celui de la masse de la vapeur d'eau (du fait de l'incompressibilité de l'eau) et on obtient:

.. math::
   :label: 2.1-2

   dm_{\text{eau}} = (1-\mathit{S}){\phi}d{\rho}_{\text{v}} =(1-\mathit{S})\frac{{M}_{\text{v}}^{\text{ol}}}{RT}{\phi}{d{p}_{\text{v}}}

Comme la perméabilité est négligeable, on a :

.. math::
   :label: 2.1-3

   M_{w}=0

Concernant le flux de vapeur d'eau, on l'écrit sous la forme:

.. math::
   :label: 2.1-4

   M_{v}= {{\rho}_{\text{v}}}{{\lambda}_{\text{gz}}}(-\nabla{{p}_{\text{gz}}})-{{\mathit{F}}_{\text{v}}}{{\rho}_{\text{gz}}}{\nabla{\frac{{\rho}_{\text{v}}}{{\rho}_{\text{gz}}}}}

Avec :math:`{\lambda}_{\text{gz}}` la conductivité au gaz, :math:`{\rho}_{\text{gz}}` la densité du gaz, :math:`{\rho}_{\text{v}}` la densité de la vapeur d'eau et :math:`{\mathit{F}}_{\text{v}}` le coefficient de diffusion de Fick pour la vapeur d'eau

Etant donné que la pression de gaz (et sa densité du fait que les 2 composants ont la même masse molaire) est constante, on peut écrire l'équation :eq:`2.1-4` sous la forme:

.. math::
   :label: 2.1-5

   M_{v}= -{{\mathit{F}}_{\text{v}}}{\nabla{{\rho}_{\text{v}}}} = -{{\mathit{F}}_{\text{v}}}\frac{{M}_{\text{v}}^{\text{ol}}}{RT}(\nabla{{p}_{\text{v}}})

L'équation :eq:`2.1-1` pourra alors s'écrire sous la forme:

.. math::
   :label: 2.1-6

   (1-\mathit{S}){\phi}\frac{d{p}_{\text{v}}}{dt}= {{\mathit{F}}_{\text{v}}}(\nabla{{p}_{\text{v}}})

L'équation :eq:`2.1-6` peut alors se simplifier et s'écrire sous la forme suivante:

.. math::
   :label: 2.1-7

   {C}\frac{d{p}_{\text{v}}}{dt}=  {L}(\nabla{{p}_{\text{v}}})

Equation de la chaleur que l’on traite par un calcul thermique Aster en considérant :math:`C = (1-\mathit{S}){\phi} = 0.6` (avec :math:`{\phi} = 1` et :math:`{\mathit{S}} = 0.4`)
et :math:`L={{\mathit{F}}_{\text{v}}}= FV = 10^{-12}{m}^{2}.{s}^{-1}`