2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul

On rappelle le système d’équations que l’on résout :

\(\lbrace \begin{array}{cc}-\nabla \cdot \sigma (u)+b\nabla p& =f\\ {\partial}_{t}(\nabla \cdot u)-\kappa \Delta p& =0\end{array}\)

où \(\sigma (u)=\lambda \nabla \cdot u{I}_{d}+2\mu \varepsilon (u)\) et \({I}_{d}\) désigne la matrice identité en dimension \(d\) .

En 2D, on a la solution analytique suivante:

\(p(t,x,y)={e}^{-\mathit{At}}\sin(\pi x)\sin(\pi y)\)

\(u(t,x,y)=-\left[\begin{array}{c}\cos(\pi x)\sin(\pi y)\\ \sin(\pi x)\cos(\pi y)\end{array}\right]\frac{{e}^{-\mathit{At}}}{2\pi }\)

En 3D, on a la solution analytique suivante :

\(p(t,x,y)={e}^{-\mathit{At}}\sin(\pi x)\sin(\pi y)\sin(\pi z)\)

\(u(t,x,y)=-\left[\begin{array}{c}\cos(\pi x)\sin(\pi y)\sin(\pi z)\\ \sin(\pi x)\cos(\pi y)\sin(\pi z)\\ \sin(\pi x)\sin(\pi y)\cos(\pi z)\end{array}\right]\frac{{e}^{-\mathit{At}}}{3\pi }\)

2.2. Grandeurs et résultats de référence

On compare la solution numérique à la solution analytique en 3 points distincts du maillage (en déplacements et en pression).

2.3. Incertitudes sur la solution

Solution analytique