2. Solution de référence#

2.1. Solution élastique sans retrait#

On se place sous les hypothèses suivantes:

  • les sections de la poutres restent planes

  • il y a adhérence parfaite entre le béton et l’acier

  • le comportement est linéaire élastique

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On peut donc évaluer la position de l’axe neutre de la poutre \({y}_{n}\) en fonction de la position des aciers. Pour cela, il faut résoudre l’équation suivante :

(2.1)#\[{y}_{n}\left(2\frac{n}{b}\left({A}_{s}+{A}_{S}'\right)+2h\right)-\left(2\frac{n}{b}\left({A}_{S}'c'+{A}_{s}\left(h-c\right)\right)+{h}^{2}\right)=0\]

Avec :

\({A}_{s}\) et \({A}_{s}'\) : surfaces d’aciers respectivement tendus et comprimés dans la section

\(c'\) et \(c'\) : enrobage de béton respectivement en dessous des aciers tendus et au dessus des aciers comprimés

\(b\) et \(h\) : respectivement la largeur et la hauteur de la section de la poutre

\(n=\frac{{E}_{a}}{{E}_{b}}\) : ratio entre les module d’Young du béton et de l’acier

La contrainte longitudinale de compression \({\sigma}_{\mathit{xxC}}\) en fonction du moment fléchissant et de la position de l’axe neutre.

(2.2)#\[{\sigma}_{\mathit{xxC}}=\frac{\mathit{Mf}}{\left({A}_{s}n\frac{{\left(h-c-{y}_{n}\right)}^{2}}{{y}_{n}}+{A}_{s}'n\frac{{\left({y}_{n}-c'\right)}^{2}}{{y}_{n}}+\frac{{\mathit{by}}_{n}^{2}}{3}+b\frac{{\left(h-{y}_{n}\right)}^{3}}{{y}_{n}}\right)}\]
(2.3)#\[\mathit{Mf}(x)=\frac{\mathit{Fx}}{2}\]

L’application numérique donne:

(2.4)#\[{y}_{n}=0.2674\]

Et en \(x=2.5m\) et \(y=0,25m\) , la contrainte de compression maximale vaut:

(2.5)#\[{\sigma}_{\mathit{xxC}}=-2.05\mathit{MPa}\]

En utilisant la linéarité des contraintes dans la section, la contrainte de traction maximum est

(2.6)#\[{\sigma}_{\mathit{xxT}}=1.78\mathit{MPa}\]

2.2. Solution avec retraits#

On peut facilement évaluer les déformations dues au retrait de dessiccation et à la dilatation thermique là où on connaît les valeurs de la concentration en eau et de la température. Pour le retrait endogène, on évalue le degré d’hydratation à partir de l’interpolation utilisée pour la définition des paramètres d’hydratation. On a:

  • en \(G\) à \(t>30j\) :

\(T=20°C\) donc \({\epsilon}_{\mathit{th}}=\alpha (T-{T}_{\mathit{ref}})=0\)

\(C=50l/{m}^{3}\) donc \({\epsilon}_{\mathit{sec}}=-{K}_{\mathit{des}}({C}_{0}-C)=-5.6e-4\)

\(\xi =0,95\) donc \({\epsilon}_{\mathit{endo}}=-{B}_{\mathit{endo}}\xi =-\mathrm{8,55e-5}\)

  • en \(G\) à \(t>30j\) :

\(T=40°C\) donc \({\epsilon}_{\mathit{th}}=\alpha (T-{T}_{\mathit{ref}})=2.4e-5\)

\(C=70l/{m}^{3}\) donc \({\epsilon}_{\mathit{sec}}=-{K}_{\mathit{des}}({C}_{0}-C)=-4e-4\)

\(\xi =0,95\) donc \({\epsilon}_{\mathit{endo}}=-{B}_{\mathit{endo}}\xi =-\mathrm{8,55e-5}\)

Les contraintes en \(G\) ne sont pas calculées analytiquement mais résultent d’un calcul sur un maillage très fin (32000 HEXA20 et 155369 nœuds).