Solution de référence
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Solution élastique sans retrait
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On se place sous les hypothèses suivantes:


*   les sections de la poutres restent planes


*   il y a adhérence parfaite entre le béton et l'acier


*   le comportement est linéaire élastique


.. image:: images/1000000000000264000001CE80751FB5BF3E6AD8.png
    :width: 3.0598in
    :height: 2.3098in


.. _RefImage_1000000000000264000001CE80751FB5BF3E6AD8.png:

On peut donc évaluer la position de l'axe neutre de la poutre :math:`{y}_{n}` en fonction de la position des aciers. Pour cela, il faut résoudre l'équation suivante :

.. math::
    :label: eq-1

    {y}_{n}\left(2\frac{n}{b}\left({A}_{s}+{A}_{S}'\right)+2h\right)-\left(2\frac{n}{b}\left({A}_{S}'c'+{A}_{s}\left(h-c\right)\right)+{h}^{2}\right)=0

Avec :

:math:`{A}_{s}` et :math:`{A}_{s}'` : surfaces d'aciers respectivement tendus et comprimés dans la section

:math:`c'` et :math:`c'` : enrobage de béton respectivement en dessous des aciers tendus et au dessus des aciers comprimés

:math:`b` et :math:`h` : respectivement la largeur et la hauteur de la section de la poutre

:math:`n=\frac{{E}_{a}}{{E}_{b}}` : ratio entre les module d'Young du béton et de l'acier

La contrainte longitudinale de compression :math:`{\sigma}_{\mathit{xxC}}` en fonction du moment fléchissant et de la position de l'axe neutre.


.. math::
    :label: eq-2

    {\sigma}_{\mathit{xxC}}=\frac{\mathit{Mf}}{\left({A}_{s}n\frac{{\left(h-c-{y}_{n}\right)}^{2}}{{y}_{n}}+{A}_{s}'n\frac{{\left({y}_{n}-c'\right)}^{2}}{{y}_{n}}+\frac{{\mathit{by}}_{n}^{2}}{3}+b\frac{{\left(h-{y}_{n}\right)}^{3}}{{y}_{n}}\right)}

.. math::
    :label: eq-3

    \mathit{Mf}(x)=\frac{\mathit{Fx}}{2}

L'application numérique donne:

.. math::
    :label: eq-4

    {y}_{n}=0.2674

Et en :math:`x=2.5m` et :math:`y=0,25m` , la contrainte de compression maximale vaut:

.. math::
    :label: eq-5

    {\sigma}_{\mathit{xxC}}=-2.05\mathit{MPa}

En utilisant la linéarité des contraintes dans la section, la contrainte de traction maximum est


.. math::
    :label: eq-6

    {\sigma}_{\mathit{xxT}}=1.78\mathit{MPa}


.. _RefNumPara__4214_1107031775:


Solution avec retraits
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On peut facilement évaluer les déformations dues au retrait de dessiccation et à la dilatation thermique là où on connaît les valeurs de la concentration en eau et de la température. Pour le retrait endogène, on évalue le degré d'hydratation à partir de l'interpolation utilisée pour la définition des paramètres d'hydratation. On a:


*   en :math:`G` à :math:`t>30j` :

:math:`T=20°C` donc :math:`{\epsilon}_{\mathit{th}}=\alpha (T-{T}_{\mathit{ref}})=0`

:math:`C=50l/{m}^{3}` donc :math:`{\epsilon}_{\mathit{sec}}=-{K}_{\mathit{des}}({C}_{0}-C)=-5.6e-4`

:math:`\xi =0,95` donc :math:`{\epsilon}_{\mathit{endo}}=-{B}_{\mathit{endo}}\xi =-\mathrm{8,55e-5}`


*   en :math:`G` à :math:`t>30j` :

:math:`T=40°C` donc :math:`{\epsilon}_{\mathit{th}}=\alpha (T-{T}_{\mathit{ref}})=2.4e-5`

:math:`C=70l/{m}^{3}` donc :math:`{\epsilon}_{\mathit{sec}}=-{K}_{\mathit{des}}({C}_{0}-C)=-4e-4`

:math:`\xi =0,95` donc :math:`{\epsilon}_{\mathit{endo}}=-{B}_{\mathit{endo}}\xi =-\mathrm{8,55e-5}`

Les contraintes en :math:`G` ne sont pas calculées analytiquement mais résultent d'un calcul sur un maillage très fin (32000 HEXA20 et 155369 nœuds).