2. Solution de référence#
On peut déterminer analytiquement la solution du problème posé.
On note:
\({\varepsilon}_{0}\) la déformation appliquée dans la direction \(z\) ,
\({\varepsilon}_{1}\) , \({\varepsilon}_{2}\) et \({\varepsilon}_{3}\) les déformations principales
2.1. Première étape du chargement : compression simple#
Le tenseur des déformations vaut:
avec \({\varepsilon}_{0}<0\)
La déformation équivalente vaut par conséquent:
Dès lors que
, il y a évolution de l’endommagementqui vaut:
Enfin la contrainte \({\sigma}_{zz}\) vaut:
2.2. Deuxième étape du chargement : dilatation thermique en déformations planes#
Le tenseur des déformations totales vaut:
avec \({\varepsilon}_{0}<0\) fixe
La déformation élastique valant
, la déformation équivalente vaut:
L’endommagement vaut:
Enfin la contrainte \({\sigma}_{zz}\) vaut:
Remarque:
A un état donné, les paramètres matériaux utilisés sont ceux définis à la température maximale vue par le matériau et pas à la température courante.
L’évaluation de l’endommagement \(D\) fait intervenir la notion de maximum atteint au cours de l’histoire du chargement; la solution n’est donc pas complètement analytique mais implique une discrétisation. Dans le cas où il n’y a pas d’influence de la thermique, il suffit de prendre \(\stackrel{~}{\epsilon}\) équivalent à la déformation équivalente maximale atteinte. Lorsqu’on prend en compte l’aspect thermique, le chauffage peut contribuer à «diminuer» ou «retarder» l’endommagement à déformation donnée; c’est le cas avec l’évolution de \({B}_{c}\) retenue. Dans ce cas, il faut en fait discrétiser assez finement le chargement pour avoir la bonne valeur d’endommagement \(D\) (qui présente en effet un maximum dans notre cas).