Solution de référence
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On peut déterminer analytiquement la solution du problème posé.

On note:


*   :math:`{\varepsilon}_{0}`  la déformation appliquée dans la direction :math:`z` ,


*   :math:`{\varepsilon}_{1}` , :math:`{\varepsilon}_{2}` et :math:`{\varepsilon}_{3}` les déformations principales


Première étape du chargement : compression simple
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*   Le tenseur des déformations vaut:

    .. image:: images/Object_6.svg
        :width: 135
        :height: 74


    .. _RefImage_Object_6.svg:

avec :math:`{\varepsilon}_{0}<0`


*   La déformation équivalente vaut par conséquent:


    .. image:: images/Object_7.svg
        :width: 135
        :height: 74


    .. _RefImage_Object_7.svg:


*   Dès lors que

    .. image:: images/Object_8.svg
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        :height: 74


    .. _RefImage_Object_8.svg:

, il y a évolution de l’endommagementqui vaut:


.. image:: images/Object_10.svg
    :width: 135
    :height: 74


.. _RefImage_Object_10.svg:


*   Enfin la contrainte :math:`{\sigma}_{zz}` vaut:


.. image:: images/Object_11.svg
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    :height: 74


.. _RefImage_Object_11.svg:


Deuxième étape du chargement : dilatation thermique en déformations planes
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*   Le tenseur des déformations totales vaut:


.. image:: images/Object_12.svg
    :width: 135
    :height: 74


.. _RefImage_Object_12.svg:

avec :math:`{\varepsilon}_{0}<0` fixe


*   La déformation élastique valant

    .. image:: images/Object_13.svg
        :width: 135
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    .. _RefImage_Object_13.svg:

, la déformation équivalente vaut:


.. image:: images/Object_14.svg
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.. _RefImage_Object_14.svg:


*   L’endommagement vaut:


.. image:: images/Object_16.svg
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.. _RefImage_Object_16.svg:


*   Enfin la contrainte :math:`{\sigma}_{zz}` vaut:


.. image:: images/Object_17.svg
    :width: 135
    :height: 74


.. _RefImage_Object_17.svg:

**Remarque:**


*
    * *A un état donné, les paramètres matériaux utilisés sont ceux définis à la température maximale vue par le matériau et pas à la température courante.*


    * *L’évaluation de l’endommagement* :math:`D` *fait intervenir la notion de maximum atteint au cours de l’histoire du chargement; la solution n’est donc pas complètement analytique mais implique une discrétisation. Dans le cas où il n’y a pas d’influence de la thermique, il suffit de prendre* :math:`\stackrel{~}{\epsilon}` *équivalent à la déformation équivalente maximale atteinte. Lorsqu’on prend en compte l’aspect thermique, le chauffage peut contribuer à «diminuer» ou «retarder» l’endommagement à déformation donnée; c’est le cas avec l’évolution de* :math:`{B}_{c}` *retenue. Dans ce cas, il faut en fait discrétiser assez finement le chargement pour avoir la bonne valeur d’endommagement* :math:`D` *(qui présente en effet un maximum dans notre cas).*