2. Solution de référence

2.1. Forme du champ solution

Le champ de contrainte solution \(\sigma (t)\) est de la forme:

\(\sigma (t)={\sigma}_{o}(t)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\)

On en déduit la forme suivante du tenseur des déformations élastiques:

\({\epsilon}^{e}(t)=\frac{{\sigma}_{o}(t)}{E}\left(\begin{array}{ccc}-\nu & 0& 0\\ 0& -\nu & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\)

De plus, étant donné que \(\sigma (t)\) garde une direction constante, on a:

\({\epsilon}^{p}(t)={\epsilon}_{o}^{p}(t)\left(\begin{array}{ccc}\frac{-1}{2}& 0& 0\\ 0& \frac{-1}{2}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\)

où \({\epsilon}^{p}\) est le tenseur des déformations plastiques.

2.2. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Notation: par la suite, on notera \({\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}\) (resp. \({\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}\) ) la variable d’écrouissage effective des phases froides (resp. de la phase chaude).

Avant transformation , solution thermo-élastique pour \(t<{t}_{1}\) .

\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)=0\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})\\ {\sigma}_{zz}(t)=-E{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)\end{array}\)

La limite élastique est atteinte pour \(t={t}_{1}\) tel que:

\(\begin{array}{ccc}{\sigma}_{zz}({t}_{1})=-E{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}({t}_{1})={\sigma}_{y}^{\mathit{aust}}& \iff & T({t}_{1})-{T}^{0}=\frac{-{\sigma}_{y}^{\mathit{aust}}}{E{\alpha}_{\mathit{aust}}}=-100.°C\\ & \iff & {t}_{1}=\frac{T({t}_{1})-{T}^{0}}{\mu}=20s\end{array}\)

Avant transformation , solution thermo-élasto-plastique, \({t}_{1}\le t\le {\tau}_{1}\) .

\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}(t)=0\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})\\ {\epsilon}_{zz}^{p}(t)=\frac{-{\sigma}_{y}^{\mathit{aust}}-E{\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})}{E+{H}^{\mathit{aust}}}\\ {\sigma}_{zz}(t)=-E({\epsilon}_{zz}^{p}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t))\\ {\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}(t)=p(t)={\epsilon}_{zz}^{p}(t)\\ {\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}(t)=0\end{array}\)

Pendant la transformation , pour \({\tau}_{1}<t\le {\tau}_{2}\) , on est en régime élastique, on a donc une solution thermo‑élastique avec changement de phase.

\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}({\tau}_{1})=0\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={Z}_{\mathit{aust}}{\alpha}_{\mathit{aust}}(T-{T}^{0})+{Z}_{\mathit{fbm}}\left({\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}\right)\\ {\sigma}_{zz}(t)=-E({\epsilon}_{zz}^{p}({\tau}_{1})+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t))\\ {\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}(t)={\epsilon}_{zz}^{p}({\tau}_{1})\\ {\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}(t)=0\end{array}\)

Après la transformation , solution thermo-élastique pour \({\tau}_{2}<t<{t}_{2}\) .

\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}({\tau}_{1})=0\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}\\ {\sigma}_{zz}(t)=-E({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}({\tau}_{1}))\\ {\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}(t)={\epsilon}_{zz}^{p}({\tau}_{1})\\ {\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}(t)=0\end{array}\)

La limite élastique est atteinte pour \(t={t}_{2}\) tel que :

\({\sigma}_{zz}({t}_{2})=R(T,Z,{\epsilon}^{\mathit{eff}})+{\sigma}_{y}(T,Z)\)

A cause de la restauration d’écrouissage et du fait qu’on était en régime élastique pendant toute la transformation : \(R=0\) avant replastification.

On a donc en \({t}_{2}\) :

\(\begin{array}{ccc}{\sigma}_{zz}({t}_{2})=-E({\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}({t}_{2})+{\epsilon}_{zz}^{p}({\tau}_{1}))={\sigma}_{y}^{\mathit{fbm}}& \iff & T({t}_{2})-{T}^{0}=-\frac{{\sigma}_{y}^{\mathit{fbm}}+E(\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}+{\epsilon}_{zz}^{p}({\tau}_{1}))}{E{\alpha}_{\mathit{fbm}}}\simeq -624°C\\ & \Rightarrow & {t}_{2}=\frac{T({t}_{2})-{T}^{0}}{\mu}\simeq 125s\end{array}\)

Après la transformation , solution thermo-élasto-plastique pour \(t\ge {t}_{2}\) .

\(\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{zz}(t)={\epsilon}_{zz}^{e}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)+{\epsilon}_{zz}^{p}(t)=0\\ {\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t)={\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}}\\ {\epsilon}_{zz}^{p}(t)=\frac{-{\sigma}_{y}^{\mathit{fbm}}-E({\alpha}_{\mathit{fbm}}(T-{T}^{0})+\Delta {\epsilon}_{f\gamma }^{{T}_{\mathit{ref}}})+{H}^{\mathit{fbm}}{\epsilon}^{p}({\tau}_{1})}{E+{H}^{\mathit{fbm}}}\\ {\sigma}_{zz}(t)=-E({\epsilon}_{zz}^{p}(t)+{\epsilon}_{zz}^{\mathit{th}}(t))\\ {\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}(t)=0\\ {\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}(t)={\epsilon}_{zz}^{p}(t)-{\epsilon}_{zz}^{p}({\tau}_{1})\end{array}\)

2.3. Résultats de référence

À \(t=60s\) :	\({\sigma}_{zz}\)	\({\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}\)	\({\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}\)	\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{th}}\)	\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{meca}}\)	\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{plas}}\)
À \(t=89s\) :	\({\sigma}_{zz}\)	\({\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}\)	\({\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}\)	\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{th}}\)	\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{meca}}\)	\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{plas}}\)
À \(t=112s\) :	\({\sigma}_{zz}\)	\({\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}\)	\({\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}\)	\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{th}}\)	\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{meca}}\)	\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{plas}}\)
À \(t=176s\) :	\({\sigma}_{zz}\)	\({\epsilon}_{\gamma}^{\mathit{eff}}\)	\({\epsilon}_{\alpha}^{\mathit{eff}}\)	\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{th}}\)	\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{meca}}\)	\({\epsilon}_{xx}^{\mathit{plas}}\)

2.4. Références bibliographiques

1. DONORE A.M. - WAECKEL F. - Influence des transformations structurales dans les lois de comportement élasto-plastiques Note HI-74/93/024.

2. DONORE.A.M. - WAECKEL.F. - RAZAKANAIVO.A. - Doc. Aster [R4.04.02].