1. Problème de référence#

1.1. Géométrie#

On considère un cylindre creux infini.

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Figure 1: Géométrie du cylindre creux

Modélisation A:

Les propriétés géométriques sont:

  • Rayon interne \({R}_{i}=10\mathit{mm}\)

  • Rayon externe \({R}_{e}=20\mathit{mm}\)

Modélisation B :

Les propriétés géométriques sont:

  • Rayon interne \({R}_{i}=100\mathit{mm}\)

  • Rayon externe \({R}_{e}=200\mathit{mm}\)

1.2. Propriétés du matériau#

Les matériaux utilisés dans les calculs utilisent la loi de comportement VMIS_JOHN_COOK. Sa fonction d’écrouissage s’écrit de la manière suivante [1]:

\(R(p,\dot{p},T)=(A+B{p}^{n})(1+C\ln(\frac{\dot{p}}{\dot{{p}_{0}}}))(1-(\frac{T-{T}_{\mathit{room}}}{{T}_{\mathit{melt}}-{T}_{\mathit{room}}}))\)

Nous n’utiliserons pas les termes liés à la dépendance à la température et à la vitesse de déformation plastique. On travaillera alors avec:

\(R(p)=A+B{p}^{n}\)

Modélisation A:

On modélise une loi de comportement élastique. On utilise les paramètres mécaniques et thermiques suivants:

  • Module d’Young \(E=206900\mathit{MPa}\)

  • Coefficient de Poisson \(\nu =0.29\)

  • Limite d’élasticité \(A=5{.10}^{100}\mathit{Pa}\)

  • Pente post-élastique \(B=2{.10}^{10}\mathit{Pa}\)

  • Puissance post-élastique \(n=1\)

  • Masse volumique \(\rho =7800\mathit{kg}/{m}^{3}\)

  • Coefficient de dilatation \(\alpha =1,5{.10}^{-5}{K}^{-1}\)

  • Conductivité \(\lambda =45W/(\mathit{m.K})\)

  • Capacité calorifique \({C}_{p}=460J/(\mathit{kg.K})\)

  • Température de référence \({T}_{\mathit{ref}}=293K\)

Modélisation B:

On modélise une loi de comportement élastoplastique équivalente à une loi VMIS_ISOT_LINE . On utilise les paramètres mécaniques et thermiques suivants:

  • Module d’Young \(E=70000\mathit{MPa}\)

  • Coefficient de Poisson \(\nu =0.3\)

  • Limite d’élasticité en fonction de la température \(A(T)=A({T}_{\mathit{ref}})(1-w(T-{T}_{\mathit{ref}}))\)

  • Limite d’élasticité à la température de référence \(A({T}_{\mathit{ref}})=70\mathit{MPa}\)

  • Coefficient d’adoucissement linéaire \(w=3{.10}^{-4}{K}^{-1}\)

  • Pente post-élastique \(B=210\mathit{MPa}\)

  • Puissance post-élastique \(n=1\)

  • Masse volumique \(\rho =2700\mathit{kg}/{m}^{3}\)

  • Coefficient de dilatation \(\alpha =2,38{.10}^{-5}{K}^{-1}\)

  • Conductivité \(\lambda =150W/(\mathit{m.K})\)

  • Capacité calorifique \({C}_{p}=900J/(\mathit{kg.K})\)

  • Température de référence \({T}_{\mathit{ref}}=293K\)

1.3. Conditions aux limites et chargements#

Modélisation A:

On impose un déplacement radial de \(20\mathit{mm}\) à la face interne du cylindre à la vitesse de \(\mathrm{1mm}/s\) . La température de la face externe est imposée à \({T}_{\mathit{ref}}\) . Les autres faces du cylindre sont considérées comme thermiquement isolées. Le comportement est thermoélastique et l’expansion d’un cylindre provoque donc son refroidissement.

Modélisation B:

La surface du cylindre est considéré comme thermiquement isolée. Le déplacement de la face interne du cylindre est de \(130\mathit{mm}\) appliqué en \(1,3s\) . Le comportement est thermoélastoplastique et l’effet de dissipation plastique compense l’effet précédent de refroidissement thermo-élastique pour entraîner le réchauffement global du cylindre.

1.4. Conditions initiales#

La température du cylindre est égale à \({T}_{\mathit{ref}}\) .