2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Champ de température : |
calcul analytique exact. |
Calcul thermomécanique : |
champ de contraintes thermoélastique dans le barreau non fissuré donné par une expression analytique exacte |
déplacement des lèvres de la fissure calculé à partir de fonctions d’influence déterminées numériquement par éléments finis |
|
facteur d’intensité des contraintes calculé à partir des tensions de surface libérées le long de la fissure, en utilisant des fonctions poids du solide illimité pour une répartition de pression sur les lèvres constante par intervalle le long du rayon. |
2.2. Résultats de référence#
Nombre de Fourier: \(\mathit{Fo}=\frac{\kappa t}{{R}^{2}}\) (temps adimensionnel)
Nombre de Biot : \(\mathit{Bi}=\frac{\mathit{hR}}{\lambda}\) (coefficient d’échange sans dimension)
Expression de la température en fonction de r et de t :
les valeurs propres \({\mu}_{n}\) sont les solutions de l’équation ci-dessus dans laquelle \({J}_{0}\) et \({J}_{1}\) sont les fonctions de Bessel de première espèce d’ordre 0 et 1.
Les tableaux ci-dessous résument les valeurs des températures (\(°C\) ) pour trois rayons particuliers et pour trois nombres de Fourier :
\(\mathrm{F0}=0,001\)
Réf. (10000 termes) |
|
\(r=0\) |
3,9968E-12 |
\(r=1\) |
2,2204E-13 |
\(r=2\) |
2,79689E+1 |
\(\mathrm{F0}=0,4\)
Réf. (900 termes) |
|
\(r=0\) |
1,6230E-1 |
\(r=1\) |
6,2391E+0 |
\(r=2\) |
7,7365E+1 |
\(\mathrm{F0}=1\)
Réf. (900 termes) |
|
\(r=0\) |
9,8644E+1 |
\(r=1\) |
9,9018E+1 |
\(r=2\) |
9,9835E+1 |
Expression de la contrainte axiale dans le barreau non fissuré en fonction de \(r\) et de \(t\) :
Le tableau ci-dessous résume les valeurs des contraintes \({\sigma}_{zz}(\mathrm{Pa})\) pour \(r=a\) (fond de fissure) et pour trois nombres de Fourier :
Réf. (900 termes) |
|
\(\mathrm{F0}=0,001\) |
4,584029E+6 |
\(\mathrm{F0}=0,4\) |
6,397099E+7 |
\(\mathrm{F0}=1\) |
8,200300E+5 |
Facteur d’intensité des contraintes (adimensionnel) en fonction du nombre de Fourier
2.3. Incertitude sur la solution#
Inférieure à \(\text{5 \%}\) .
2.4. Références bibliographiques#
J.M. ZHOU, T. TAKASE et Y. IMAI: Opening and closing behavior of an external circular crack due to axisymmetrical heating. Engng.Fract.Mechs., 47, n°4, 559-568, 1994.