1. Problème de référence

1.1. Géométrie

Fissure annulaire externe dans un barreau cylindrique semi-infini

On prendra \(a/R=0,5\) et \(H/R\ge 5\) .

\(a=1m\)

\(R=2m\)

\(H=10m\)

1.2. Propriétés du matériau

Le matériau est thermoélastique linéaire isotrope.

1.3. Conditions aux limites et chargement

Conditions aux limites mécaniques

\(\mathrm{UX}={U}_{r}=0\) sur l’axe de révolution \(r=0\)

\(\mathrm{UY}={U}_{z}=0\) sur le ligament \(0\le r\le a\)

Force axiale résultante nulle au bord supérieur ; on traduira cette condition à la limite par un ensemble de \((n-1)\) relations linéaires \(\mathit{UY}(1)=\mathit{UY}(2)=\mathrm{...}=\mathit{UY}(n)\) entre les déplacements longitudinaux des \(n\) nœuds du bord supérieur (dilatation axiale libre, conservation de la planéité de la section transversale du barreau).

Conditions de contact unilatéral sur la lèvre de la fissure afin de gérer la fermeture de celle-ci.

Conditions aux limites thermiques

Flux thermique nul sur l’axe de révolution \(\mathrm{AB}\) (par symétrie)

Flux thermique nul sur le ligament \(\mathrm{OA}\) (par symétrie) et sur la fissure \(\mathrm{AC}\) .

Flux de convection \(\frac{\partial T}{\partial r}=h({T}_{\mathrm{ext}}-T)\) au bord \(r=R\) , \({T}_{\mathrm{ext}}\) désignant la température du milieu extérieur.

Chargement thermique

La température du milieu extérieur subit un échelon instantané \({T}_{\mathrm{ext}}=\mathrm{T0}\ast H(t)\) où \(H(t)\) est la fonction échelon-unité de Heaviside. Compte tenu des conditions aux limites la température ne varie pas en fonction de \(z\) . On prendra \({T}_{0}=100°C\) afin d’obtenir la fermeture de la lèvre, au voisinage de la peau de la pièce, au début du choc thermique.

1.4. Conditions initiales

Conditions initiales mécaniques

Déplacements, déformations et contraintes nuls en tous points.

Conditions initiales thermiques

Température initiale nulle en tout point.