2. Solution de référence#

2.1. Solution de référence pour la modélisation A#

Elle s’appuie sur [bib.1] et [R5.03.11]. On trouve une solution analytique sous les hypothèses :

  • le tenseur des contraintes \(\sigma\) est connu (contraintes imposées sur un point matériel)

  • la matrice d’interaction \({a}_{ij}\) est composée uniquement de 1.

Pour chaque système de glissement, la scission résolue se calcule par : \({\tau}_{s}=\sigma :{m}_{s}\)

avec \({m}_{s}\) le tenseur d’orientation défini par : \({({m}_{s})}_{ij}=\frac{1}{2}({({n}_{s})}_{i}\cdot {({l}_{s})}_{j}+{({l}_{s})}_{i}\cdot {({n}_{s})}_{j})\) . \({n}_{s}\) désignant la normale au plan de glissement du système \(s\) et \({l}_{s}\) la direction de glissement. L’évolution du glissement plastique est donnée pour chaque système \(s\) par :

\(\dot{{\gamma}_{s}}=\dot{{p}_{s}}\frac{{\tau}_{s}}{∣{\tau}_{s}∣}\) où \(\dot{{p}_{s}}=\dot{{\gamma}_{0}}({(\frac{∣{\tau}_{s}∣}{{\tau}_{f}+{\tau}_{s}^{\mathrm{forest}}})}^{n}-1)\) si \(∣{\tau}_{s}∣\ge {\tau}_{0}+{\tau}_{s}^{f}\) , sinon \(\dot{{p}_{s}}=0\)

avec \({\tau}_{s}^{\mathrm{forest}}(\omega )=\mu C(\omega )\sqrt{\sum_{j=1,12}{a}_{\mathrm{sj}}\langle {\omega}_{j}\rangle }\) où \({\omega}_{s}\) est relié à la densité de dislocation \({\rho}_{s}\) par : : \({\omega}_{s}={b}^{2}\ast {\rho}_{s}\) . \({\tau}_{s}\) étant connu, \(\dot{{\gamma}_{s}}\) est donc uniquement fonction de \({\omega}_{s}\) .

L’évolution de \({\omega}_{s}\) est donnée par l’équation différentielle : \(\dot{{\omega}_{s}}=\dot{{p}_{s}}{h}_{s}(\langle \omega \rangle )\) avec \({h}_{s}(\omega )=(A\frac{\sum_{j\in \mathrm{forest}(s)}\sqrt{{a}_{\mathrm{sj}}}\langle {\omega}_{j}\rangle }{\sum_{j=1,12}\sqrt{{a}_{\mathrm{sj}}\langle {\omega}_{j}\rangle }}+BC(\omega )\sum_{j\in \mathrm{copla}(s)}\sqrt{{a}_{\mathrm{sj}}\langle {\omega}_{j}\rangle }-\frac{y}{b}\langle {\omega}_{s}\rangle )\)

\(C(\omega )=0.2+0.8\frac{\ln(\alpha \sqrt{\sum_{i=1,12}\langle {\omega}_{i}\rangle })}{\ln(\alpha b\sqrt{{\rho}_{\mathrm{ref}}})}\) .

Pour l’orientation choisie, soit \(\text{1-5-9}\) , les facteurs de Schmid, reliant le tenseur des contraintes aux différentes scissions résolues \({\tau}_{s}\) sont , pour les 12 systèmes octaédriques du \(\text{CFC}\) [R5.03.11] : \(\begin{array}{c}[0.45784855,0.22892428,0.22892428,0.15261618,0.26707832,0.11446214,\\ \text{}0.19840104,0.29760156,0.4960026,0.04578486,0.11446214,0.16024699]\end{array}\)

On constate donc que le premier système de glissement activé sera le numéro 9 (\(\text{A3}\) ), et le deuxième sera le numéro 1 (soit \(\text{B4}\) ). Les scissions résolues pour ces deux systèmes sont :

  • système \(\text{A3}\) (numéro 9) : \({\tau}_{s}=49,6\mathit{MPa}\)

  • système \(\text{B4}\) (numéro 1) : \({\tau}_{s}=45,785\mathrm{MPa}\)

Pour ces deux systèmes, \({\tau}_{s}\) étant connu, il suffit de résoudre l’équation différentielle \(\dot{{\omega}_{s}}=\dot{{p}_{s}}{h}_{s}(\langle \omega \rangle )\) pour connaître l’ensemble des variables. Ceci est effectué numériquement, à l’aide du module «odeint» de scipy (voir fichier SSND110A.22).

2.2. Solution de référence pour la modélisation B#

Dans le cas du \(\text{CC}\) , pour l’orientation choisie, soit \(\text{1-5-9}\) , le premier système de glissement (famille CUBIQUE) activé sera le numéro 8, et le deuxième sera le numéro 5. Les scissions résolues pour ces deux systèmes sont (à une température de 300K):

  • système numéro 8 : \({\tau}_{s}=49,6\mathrm{Mpa}\)

  • système numéro 5 : \({\tau}_{s}=45,785\mathrm{MPa}\)

2.3. Solution de référence pour la modélisation C#

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Les données expérimentales sont résumées par la courbe lissée ci-dessous :

Pour plus de précision, on pourra se reporter à [2] et [3].

2.4. Solution de référence pour la modélisation D#

La validation consiste à vérifier que les systèmes de glissement activés sont bien ceux qui sont attendus, et de comparer les résultats entre les intégrations explicite et implicite.

2.5. Solution de référence pour la modélisation E#

La validation consiste à vérifier que la courbe contrainte-déformation obtenue avec irradiation présente bien un sur-écrouissage par rapport au cas non irradié, puis un adoucissement.

2.6. Références bibliographiques#

[1] N.Rupin Note EDF-R&D : HT24-2010-01128-en «implementation of a new constitutive law based on dislocation dynamics for fcc materials»

[2] J.M. Stephan Note EDF-R&D : HT24-2010-01329-FR «Projet ANR AFGRAP – Courbes de traction monotones et cycliques moyennes de l’acier AISI 316LN (Tole T252) fourni par AREVA»

[3] J. Schwartz : «Approche non locale en plasticité cristalline : application à l’étude du comportement mécanique de l’acier AISI 316LN en fatigue oligocyclique». Thèse de l’Ecole Centrale de Paris, Juin 2011.

[4] G.Monnet : “Crystal plasticity constitutive law for irradiated RPV steel” Note EDF R&D H-T27-2011-02738-EN, Décembre 2011.