1. Problème de référence#
1.1. Géométrie#
Il s’agit d’un point matériel, représentatif d’un état de contraintes et de déformations homogène.
1.2. Propriétés des matériaux#
1.2.1. Propriétés pour la modélisation A, loi cristalline MONO_DD_CFC#
1.2.1.1. Coefficients relatifs à l’élasticité isotrope#
Module de cisaillement: \(\mu =80000.\mathrm{MPa}\) , Coefficient de Poisson \(\nu =0.3\)
Module d’Young: \(E=\mu \ast 2\ast (1.+\nu )\)
1.2.1.2. Coefficients de la loi MONO_DD_CFC#
\(A=0.13\) \(B=0.005\) \(\alpha =0.35\) \(\beta ={2.5410}^{\text{-7}}(2.54\mathrm{Angström})\)
\(Y=2.5{10}^{\text{-7}}\mathrm{mm}(2.5\mathrm{Angstrom})\) \({\tau}_{f}=20.\) \(n=5.\) \(\dot{{\gamma}_{0}}={10}^{\text{-3}}\)
\({\rho}_{\mathit{ref}}={\rho}_{\mathit{tot}}=1.2{10}^{6}{\mathit{mm}}^{\text{-2}}\) est la densité totale initiale, servant à calculer la matrice d’interaction corrigée, dont les coefficients évoluent avec la densité de dislocation totale.
La matrice d’interaction est composée uniquement de 1 : \(\mathit{H1}=\mathit{H2}=\mathit{H3}=\mathit{H4}=\mathit{H5}=1.0\) ,
La famille de systèmes de glissement est octaédrique (\(\text{CFC}\) ) .
Chaque variable interne représentant la densité de dislocation d’un système de glissement est initialisées à \({\rho}_{0}\ast {b}^{2}\) avec \({\rho}_{0}={10}^{5}{\mathit{mm}}^{\text{-2}}=\frac{{\rho}_{\mathit{tot}}}{12}\)
1.2.2. Propriétés pour la modélisation B, loi cristalline MONO_DD_CC#
1.2.2.1. Coefficients relatifs à l’élasticité isotrope#
Coefficient de Poisson \(\nu =0.35\)
Module d’Young: \(E=(236-0,0459T)\text{GPa}\)
1.2.2.2. Coefficients de la loi MONO_DD_CC#
Deux jeux de coefficients sont utilisés suivant les cas :
Cas 1 (formulation 1) |
Cas 2 (formulation 2) |
\(\text{DELTA1}=0\) (formulation 1), \(\text{TEMP}=300K\) \(\text{D\_LAT}=1000\text{mm}\) \(\text{K\_BOLTZ}=8.62{10}^{\text{-5}}\) \(\text{GAMMA0}={10}^{\text{-3}}{s}^{\text{-1}}\) \(\text{TAU\_0}=363\text{MPa}\) \(\text{TAU\_F}=20\text{MPa}\) \(\text{RHO\_MOB}={10}^{5}{\text{mm}}^{\text{-2}}\) \(\text{K\_F}=30\text{K\_SELF}=100\) \(\text{B}=2.48{10}^{\text{-7}}\text{mm}\) \(\text{N}=20\) \(\text{DELTAG0}=0.84\) \(\text{BETA}=0.2\) \(\text{D}={10}^{\text{-5}}\text{mm}\) \(\text{GH}={10}^{11}\) , \(\text{Y\_AT}={10}^{\text{-6}}\text{mm}\) , Les variables internes représentant la densité de dislocations sont initialisées à \({\rho}_{0}={10}^{5}{\mathrm{mm}}^{\text{-2}}\) |
\(\text{DELTA1}=1\) (formulation 2), \(\text{TEMP}=50K\) \(\text{D\_LAT}=1000\text{mm}\) \(\text{K\_BOLTZ}=8.62{10}^{\text{-5}}\) \(\text{GAMMA0}={10}^{\text{-6}}{s}^{\text{-1}}\) \(\text{TAU\_0}=363\text{MPa}\) \(\text{TAU\_F}=0\) \(\text{RHO\_MOB}={10}^{5}{\text{mm}}^{\text{-2}}\) \(\text{K\_F}=75\text{K\_SELF}=100\) \(\text{B}=2.48{10}^{\text{-7}}\text{mm}\) \(\text{N}=50\) \(\text{DELTAG0}=0.84\) \(\text{BETA}=0.2\) \(\text{D}={10}^{\text{-5}}\text{mm}\) \(\text{GH}={10}^{11}\) , \(\text{Y\_AT}=2{10}^{\text{-6}}\text{mm}\) , Les variables internes représentant la densité de dislocations sont initialisées à \({\rho}_{0}={10}^{5}{\mathrm{mm}}^{\text{-2}}\) , sauf pour le système principal (numéro 5) : \({\rho}_{0}={10}^{6}{\mathrm{mm}}^{\text{-2}}\) |
La matrice d’interaction est construite dans les deux cas à partir des valeurs suivantes
\(\text{H1}=0.1024,\text{H2}=0.7,\text{H3=H4=H5=H6}=0.1\)
La famille de systèmes de glissement est cubique (\(\text{CC}\) ).
1.2.3. Propriétés pour la modélisation C#
1.2.3.1. Coefficients relatifs à l’élasticité orthotrope#
L’élasticité est ici orthotrope cubique, donc définie par 3 coefficients:
\({y}_{1111}=244000.\mathit{MPa}\)
\({y}_{1122}=96000.\mathit{MPa}\)
\({y}_{1212}=74000.\mathit{MPa}\)
On a alors :
\({\nu}_{\text{LT}}={\nu}_{\mathit{TN}}={\nu}_{\text{LN}}=\nu =\frac{1}{(1+\frac{{y}_{1111}}{{y}_{1122}})}\) :math:``
\({E}_{L}={E}_{T}={E}_{N}={y}_{1111}\frac{(1-3{\nu}^{2}-2{\nu}^{3})}{(1-{\nu}^{2})}\)
\({G}_{\text{LT}}={G}_{\mathit{TN}}={G}_{\text{LN}}={y}_{1212}\)
Remarque: le coefficient \({\mu}^{\mathit{loca}}\) utilisé pour la localisation vaut \(74000\) Mpa.
1.2.3.2. Coefficients de la loi MONO_DD_FAT#
\({\tau}_{f}=44.9\mathit{MPa}\)
\(\dot{{\gamma}_{0}}=4.{10}^{\text{-11}}{s}^{\text{-1}}\)
\(\beta ={2.5410}^{\text{-7}}\mathrm{mm}(2.54\mathrm{Angström})\)
\(n=73.5\)
\(\text{UN\_SUR\_D}=0.\)
\({g}_{\mathit{c0}}=1.33{10}^{\text{-6}}\mathit{mm}\)
\(K=37.14\)
La matrice d’interaction est caractérisée par les cinq coefficients suivants (cf [R5.03.11]):
\(\mathit{H1}=0.1236\)
\(\mathit{H2}=0.633\)
\(\mathit{H3}=0.1388\)
\(\mathit{H4}=0.1236\)
\(\mathit{H5}=0.0709\)
La famille de systèmes de glissement est octaédrique.
Les variables internes représentant la densité de dislocations sont initialisées à \({\rho}_{0}\times {b}^{2}\) avec \({\rho}_{0}=1.77{10}^{6}{\mathrm{mm}}^{\text{-2}}\)
1.2.4. Propriétés pour la modélisation D, loi cristalline MONO_DD_CC_IRRA#
1.2.4.1. Coefficients relatifs à l’élasticité isotrope#
Coefficient de Poisson \(\nu =0.35\)
Module d’Young: \(E=(236-0,0459T)\text{GPa}\)
1.2.4.2. Coefficients de la loi MONO_DD_CC_IRRA#
\(\text{TEMP}=250K\) \(\text{D\_LAT}=1000\text{mm}\) \(\text{K\_BOLTZ}=8.62{10}^{\text{-5}}\) \(\text{GAMMA0}={10}^{\text{-3}}{s}^{\text{-1}}\) \(\text{TAU\_0}=363\text{MPa}\) \(\text{TAU\_F}=20\text{MPa}\) \(\text{K\_F}=30\text{K\_SELF}=100\) \(\text{B}=2.48{10}^{\text{-7}}\text{mm}\) \(\text{N}=20\) \(\text{DELTAG0}=0.84\) \(\text{D}={10}^{\text{-5}}\text{mm}\) \(\text{GH}={10}^{11}\) , \(\text{Y\_AT}={10}^{\text{-6}}\text{mm}\) , \(\text{A\_IRRA}=0.3,\text{XI\_IRRA}=4.0,\) Les variables internes représentant la densité de dislocations sont initialisées à \({\rho}_{0}={10}^{5}{\mathit{mm}}^{\text{-2}}=\frac{{\rho}_{\mathit{tot}}}{12}\) avec \({\rho}_{\mathit{tot}}=1,2{10}^{6}{\mathit{mm}}^{\text{-2}}\) \(\text{RHO\_MOB}={\rho}_{0}\) est a densité mobile par système de glissement. |
La matrice d’interaction est construite à partir des valeurs suivantes
\(\mathit{H1}=0.1024,\mathit{H2}=0.7,\mathit{H3}=0.1,\mathit{H4}=0.1,\mathit{H5}=0.1\mathit{H6}=0.1,\)
La famille de systèmes de glissement est cubique (\(\text{CC}\) ).
1.2.5. Propriétés pour la modélisation E, loi cristalline MONO_DD_CFC_IRRA#
1.2.5.1. Coefficients relatifs à l’élasticité isotrope#
Module de cisaillement: \(\mu =80000.\mathrm{MPa}\) , Coefficient de Poisson \(\nu =0.3\)
Module d’Young: \(E=\mu \ast 2\ast (1.+\nu )\)
1.2.5.2. Coefficients de la loi MONO_DD_CFC#
\(A=0.13\) \(B=0.005\) \(\alpha =0.35\) \(\beta ={2.5410}^{\text{-7}}(2.54\mathrm{Angström})\)
\(Y=2.5{10}^{\text{-7}}\mathrm{mm}(2.5\mathrm{Angstrom})\) \({\tau}_{f}=20.\) \(n=5.\) \(\dot{{\gamma}_{0}}={10}^{\text{-3}}\) \({\rho}_{\mathit{ref}}={10}^{5}{\mathit{mm}}^{\text{-2}}\)
\(\begin{array}{c}{\alpha}^{\mathit{loops}}=0,1{\varphi}^{\mathit{loops}}=5.9{10}^{\text{-6}}{\alpha}^{\mathit{voids}}=0{\rho}^{\mathit{voids}}=1.e3\\ {\rho}_{\mathit{sat}}=0{\varphi}_{\mathit{sat}}=0.04{\xi}_{\mathit{irra}}=10{\zeta}_{\mathit{irra}}={10}^{7}\end{array}\) avec \({\rho}_{0}=\frac{{10}^{5}}{12}{\mathit{mm}}^{\text{-2}}\)
La matrice d’interaction est caractérisée par les cinq coefficients suivants (cf [R5.03.11]):
\(\mathit{H1}=0.124\)
\(\mathit{H2}=0.625\)
\(\mathit{H3}=0.137\)
\(\mathit{H4}=0.122\)
\(\mathit{H5}=0.07\)
,
La famille de systèmes de glissement est octaédrique (\(\text{CFC}\) ) .
Les variables internes représentant la densité de dislocations sont initialisées à \({\rho}_{0}\ast {b}^{2}\)
Celles qui sont liées à l’irradiation ont pour valeurs initiales : \({\rho}_{s}^{\mathit{loops}}=7.4{10}^{\text{-13}}{b}^{2}\) \({\phi }_{s}^{\mathrm{voids}}=0.001\)
1.3. Conditions aux limites et chargements#
1.3.1. Chargement pour les modélisations A, B (cas 1), et D#
Le chargement est en contraintes imposées :
\(\sigma ={\sigma}_{0}n\otimes n\)
avec \({\sigma}_{0}=100\mathit{MPa}\) et \(\mathrm{n}={(0.09667365,0.48336824,0.87006284)}^{T}\)
D’où les composantes du tenseur des contraintes imposé :
\({\sigma}_{xx}=0.93457943925233633\) \({\sigma}_{yy}=23.364485981308412\) \({\sigma}_{zz}=75.700934579439235\) \({\sigma}_{xy}=4.6728971962616823\) \({\sigma}_{xz}=8.411214953271027\) \({\sigma}_{yz}=42.056074766355138\)
1.3.2. Chargement pour la modélisation B (cas 2)#
Le chargement est en déformations imposées :
\(\mathrm{dt}{\epsilon}_{\text{zz imposée}}=3{10}^{\text{-4}}{s}^{\text{-1}}\) et \({\varepsilon}_{zz}(\mathrm{tmax})=0,27\) avec \(\mathrm{tmax}=900s\)
Le monocristal a pour orientation [-1,4,9].
1.3.3. Chargement pour la modélisation C#
Le chargement est en déformations imposées :
\({\epsilon}_{\text{zz imposée}}=0.001t\) de \(t=0s\) à \(t=45s\)
1.3.4. Chargement pour la modélisation E#
Le chargement est en déformations imposées :
\({ϵ}_{\text{zz imposée}}=0.05t\) de \(t=0s\) à \(t=1s\)
1.4. Conditions initiales#
Contraintes et déformations nulles.