2. Solution de référence#

2.1. Construction des cas-tests#

2.1.1. Principes généraux adoptés pour la mise en données des cas-tests#

Les différentes modélisations correspondent à des géométries élémentaires distinctes. Chaque modélisation correspond à un couple d’une maille volumique esclave et d’une maille volumique maître (chacune linéaire, c’est-à-dire soit une maille TETRA4, soit une maille HEXA8). Les deux mailles sont translatées verticalement (selon l’axe \(z\)) d’une distance \(h\). En complément, afin de générer des configurations variées, on applique soit:

  • des translations du solide supérieur dans les deux directions restantes (selon \(x\) et \(y\))

  • une rotation relative du solide supérieure. Celle-ci peut-être faite analytiquement pour obtenir des intersections précises, ou à l’aide de rotation relative par angles d’Euler.

Les différentes modélisations sont construites pour avoir des cas analytiques et d’autres qui ne le sont pas. De plus, on essaie de générer plusieurs types de polygones, afin de vérifier le calcul d’aires d’intersection et le remaillage pour les poids de quadrature.

2.1.2. Rappels sur la rotation relative d’un point par angles d’Euler#

On utilise la matrice de rotation 3x3 en fonction de trois angles \(\psi\), \(\theta\), \(\phi\). Ces angles correspondent à des rotations élémentaires dans l’espace 3D, et sont souvent appelés angles d’Euler. Pour effectuer une rotation d’un vecteur, on applique une matrice \(\mathbf{R}\).

Cette matrice permet de faire tourner un vecteur 3D selon les angles d’Euler \(\psi\), \(\theta\), \(\phi\) dans l’ordre des axes \(x\), \(y\), puis \(z\). La matrice utilisée de rotation correspondante est :

\[\begin{split}\mathbf{R} = \begin{bmatrix} \cos \psi \cos \phi - \sin \psi \cos \theta \sin \phi & -\cos \psi \sin \phi - \sin \psi \cos \theta \cos \phi & \sin \psi \sin \theta \\ \sin \psi \cos \phi + \cos \psi \cos \theta \sin \phi & -\sin \psi \sin \phi + \cos \psi \cos \theta \cos \phi & -\cos \psi \sin \theta \\ \sin \theta \sin \phi & \sin \theta \cos \phi & \cos \theta \end{bmatrix}\end{split}\]

2.1.3. Structures des cas-tests#

Pour chaque cas-test, on fournit les résultats numériques attendus, et la solution analytique si elle existe.