2. Solution de référence#

2.1. Données entrées et paramètres matériaux#

Tableau 2.1 Jeu de paramètres en entrée#

Nom

Symbole

Valeur

Unité

Coefficient de Poisson

\(\nu\)

0.2

Coefficient d’écrouissage en traction

p

1.5

–

Résistance en compression

\(f_{c}\)

40

MPa

Distance inter-fissure

\(L_{F}\)

200

mm

Les valeurs des paramètres internes sont calculées à l’aide du fib Model Code ([fib-2010]) à l’aide Tableau 2.1. Les équations sont extraites de [R7.01.47].

(2.1)#\[ E = 21500\,\left(\frac{f_{c}}{10}\right)^\left(1/3\right) \quad ; \quad \nu = 0.2 \quad ; \quad G_{F}=73\,f_{c}^{0.18} \quad ; \quad f_{t}=0.3\,\left(f_{c}-8\right)^\left(2/3\right)\]

Ces équations permettent de retrouver les valeurs du module Young, de \(f_{t}\) et \(G_{F}\). Le seuil \(\sigma^{0}\) est fixé à \(f_c/3\) (voir Tableau 1.1).

DEFI_MATER_GC évalue le dernier paramètre interne de la loi à partir des valeurs précédentes à savoir l’énergie consommée normalisée \(\bar{\omega}\) définie par :

(2.2)#\[ \bar{\omega}=\frac{2E_{C}\,G_{F}}{L_{F}\,f_{t}^2}\]

Avec le module Young en traction confiné défini par :

(2.3)#\[ E_{c}=\lambda+2\mu=\frac{\left(1-\nu\right)\,E}{\left(1-2\nu\right)\left(1+\nu\right)}\]

2.2. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

L’objectif est d’estimer le temps nécessaire pour atteindre un endommagement \(a_{cible}=0.1\). on introduit la fonction suivante, qui établit le lien entre endommagement et déformation en traction confinée :

(2.4)#\[ e\left(a\right) = 1-a+\frac{\bar{\omega}}{2}\left[m_{0}a+\left(D_{1}-m_{0}\right)a^r\right]\]

On impose une déformation constante dans le temps égale à \(e(a_{max})\) où \(a_{max}=0.2\) (c’est la déformation qui conduirait instantanément à un endommagement de 0.2 en l’absence de viscosité). L’endommagement deux fois plus faible \(a_{cible}\) est donc atteint au bout d’un temps fini. Pour en trouver la valeur, il s’agit d’évaluer l’intégrale suivante :

(2.5)#\[ t_{cible} =\tau\int_{0}^{a_{cible}=0.1}\frac{e\left(a_{max}\right)^{2}}{e\left(a_{max}\right)^{2}-e\left(a\right)^{2}}\,da\]

La méthode d’intégration de numpy correspondant à la méthode des trapèze est employée dans le fichier code_aster pour calculer cette valeur.

2.3. Incertitudes sur la solution#

Néant.

2.4. Références bibliographiques#

[Lorentz-2025]

Lorentz, E., 2025. Construction, justification théorique et implantation numérique du modèle d’endommagement local de béton ENDO_LOCA_TC, Note EDF R&D 6125-1723-2024-03235-FR.

[fib-2010]

fib, 2010. Model Code for Concrete Stuctures. Fédération Internationale du Béton. éd. Berlin: Ernst & Sohn.