Solution de référence
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Données entrées et paramètres matériaux
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.. _v6.04.273-tab-données-entrée:

.. csv-table:: Jeu de paramètres en entrée
    :header: "Nom", "Symbole","Valeur","Unité"
    :widths: 50, 20, 20, 20

    Coefficient de Poisson, :math:`\nu`, 0.2,
    Coefficient d'écrouissage en traction, p, 1.5, --
    Résistance en compression, :math:`f_{c}`, 40, MPa
    Distance inter-fissure, :math:`L_{F}`, 200, mm

Les valeurs des paramètres internes sont calculées à l'aide du fib Model Code ([fib-2010]_) à l'aide :numref:`v6.04.273-tab-données-entrée`. Les équations sont extraites de [:ref:`R7.01.47 <R7.01.47>`]. 

.. math::
    :label: fib-2010

     E = 21500\,\left(\frac{f_{c}}{10}\right)^\left(1/3\right) \quad ; \quad  \nu = 0.2 \quad ; \quad  G_{F}=73\,f_{c}^{0.18} \quad ; \quad  f_{t}=0.3\,\left(f_{c}-8\right)^\left(2/3\right)

Ces équations permettent de retrouver les valeurs du module Young, de :math:`f_{t}` et :math:`G_{F}`. Le seuil :math:`\sigma^{0}` est fixé à :math:`f_c/3` (voir :numref:`v6.04.273-tab-para`).

DEFI_MATER_GC évalue le dernier paramètre interne de la loi à partir des valeurs précédentes à savoir l’énergie consommée normalisée :math:`\bar{\omega}` définie par :

.. math::
    :label: energie-normalisée

     \bar{\omega}=\frac{2E_{C}\,G_{F}}{L_{F}\,f_{t}^2}

Avec le module Young en traction confiné défini par :

.. math::
    :label: E-traction-confiné

     E_{c}=\lambda+2\mu=\frac{\left(1-\nu\right)\,E}{\left(1-2\nu\right)\left(1+\nu\right)}


Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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L'objectif est d'estimer le temps nécessaire pour atteindre un endommagement :math:`a_{cible}=0.1`. on introduit la fonction suivante, qui établit le lien entre endommagement et déformation en traction confinée : 


.. math::
    :label: seuil-traction

     e\left(a\right) = 1-a+\frac{\bar{\omega}}{2}\left[m_{0}a+\left(D_{1}-m_{0}\right)a^r\right]
     

On impose une déformation constante dans le temps égale à :math:`e(a_{max})` où :math:`a_{max}=0.2` (c'est la déformation qui conduirait instantanément à un endommagement de 0.2 en l'absence de viscosité). L'endommagement deux fois plus faible :math:`a_{cible}` est donc atteint au bout d'un temps fini. Pour en trouver la valeur, il s'agit d'évaluer l'intégrale suivante : 

.. math::
    :label: intégrale

     t_{cible} =\tau\int_{0}^{a_{cible}=0.1}\frac{e\left(a_{max}\right)^{2}}{e\left(a_{max}\right)^{2}-e\left(a\right)^{2}}\,da 

La méthode d'intégration de numpy correspondant à la méthode des trapèze est employée dans le fichier code_aster pour calculer cette valeur.


Incertitudes sur la solution
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Néant.


Références bibliographiques
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.. [Lorentz-2025] Lorentz, E., 2025. Construction, justification théorique et implantation numérique du modèle d’endommagement local de béton ENDO_LOCA_TC, Note EDF R&D 6125-1723-2024-03235-FR.
.. [fib-2010] fib, 2010. Model Code for Concrete Stuctures. Fédération Internationale du Béton. éd. Berlin: Ernst & Sohn.