2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
On s’appuie sur la méthodologie décrite dans [1] dont on ne présente ici que les résultats nécessaires pour le test. On impose la contrainte suivante:
\(\sigma (t)=s(\frac{t}{{t}_{c}}){\sigma}^{0}+{e}^{v}(\frac{t}{{t}_{c}}){\mathrm{ℂ}}^{p}:{\epsilon}^{0}+s(\frac{t}{{t}_{c}}){\mathrm{ℂ}}^{p}:{{\mathrm{ℂ}}^{v}}^{-1}:{\sigma}^{0}\)
où:
\({\sigma}^{0}\) sollicitation appliquée à l’amortisseur (paramètre d’entrée du test)
\({t}_{c}\) temps caractéristique du chargement (paramètre d’entrée du test)
\({\mathrm{ℂ}}^{p}\) et \({\mathrm{ℂ}}^{v}\) opérateurs d’élasticité des branches plastique et viscoélastique
et
\(s(\overline{t})=\min(\overline{t},1)\)
\({e}^{v}(\overline{t})=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{{\overline{t}}^{\gamma +1}}{\gamma +1}& \text{si}\overline{t}\le 1\\ \frac{1}{\gamma +1}+\overline{t}-1& \text{si}\overline{t}\ge 1\end{array}\)
\({\epsilon}^{0}=\frac{{t}_{c}}{{\eta}^{\gamma}}{\left[{\sigma}^{0}:V:{\sigma}^{0}\right]}^{\frac{\gamma -1}{2}}V:{\sigma}^{0}\)
\(V:{\sigma}^{0}=(1+{\nu}^{d}){\sigma}^{0}-{\nu}^{d}\text{tr}({\sigma}^{0})I\)
La déformation en réponse à cette sollicitation est alors la suivante:
\(\epsilon (t)={e}^{v}(\frac{t}{{t}_{c}}){\epsilon}^{0}+s(\frac{t}{{t}_{c}}){{\mathrm{ℂ}}^{v}}^{-1}:{\sigma}^{0}\)
La déformation visqueuse et la déformation visqueuse équivalente valent:
\({\epsilon}^{v}(t)={e}^{v}(\frac{t}{{t}_{c}}){\epsilon}^{0}\) ; \({\epsilon}_{\mathit{eq}}^{v}(t)={e}^{v}(\frac{t}{{t}_{c}})\sqrt{\frac{2}{3}{\epsilon}^{0}:{\epsilon}^{0}}\)
2.2. Résultats de référence#
On s’assurera que la déformation, la déformation visqueuse et la déformation visqueuse cumulée à l’instant \(t=2{t}_{c}\) correspondent bien aux valeurs analytiques à 1% près en découpant le chargement en 100 pas (\(\Delta t=2{t}_{c}/100\) ).
2.3. Incertitudes sur la solution#
Néant.
2.4. Références bibliographiques#
[1] E. Lorentz (2022) TUYAUTERIE 3- Relation de comportement robuste dédiée aux calculs de structure en polyéthylène. Note interne EDF 6125-1723-2022-00150.