Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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On s’appuie sur la méthodologie décrite dans [:ref:`1 <1>`] dont on ne présente ici que les résultats nécessaires pour le test. On impose la contrainte suivante:

:math:`\sigma (t)=s(\frac{t}{{t}_{c}}){\sigma}^{0}+{e}^{v}(\frac{t}{{t}_{c}}){\mathrm{ℂ}}^{p}:{\epsilon}^{0}+s(\frac{t}{{t}_{c}}){\mathrm{ℂ}}^{p}:{{\mathrm{ℂ}}^{v}}^{-1}:{\sigma}^{0}`

où:

 :math:`{\sigma}^{0}`         sollicitation appliquée à l’amortisseur (paramètre d’entrée du test)

 :math:`{t}_{c}`         temps caractéristique du chargement (paramètre d’entrée du test)

 :math:`{\mathrm{ℂ}}^{p}` et :math:`{\mathrm{ℂ}}^{v}`     opérateurs d’élasticité des branches plastique et viscoélastique

et

 :math:`s(\overline{t})=\min(\overline{t},1)`

 :math:`{e}^{v}(\overline{t})=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{{\overline{t}}^{\gamma +1}}{\gamma +1}& \text{si}\overline{t}\le 1\\ \frac{1}{\gamma +1}+\overline{t}-1& \text{si}\overline{t}\ge 1\end{array}`

 :math:`{\epsilon}^{0}=\frac{{t}_{c}}{{\eta}^{\gamma}}{\left[{\sigma}^{0}:V:{\sigma}^{0}\right]}^{\frac{\gamma -1}{2}}V:{\sigma}^{0}`

 :math:`V:{\sigma}^{0}=(1+{\nu}^{d}){\sigma}^{0}-{\nu}^{d}\text{tr}({\sigma}^{0})I`

La déformation en réponse à cette sollicitation est alors la suivante:

:math:`\epsilon (t)={e}^{v}(\frac{t}{{t}_{c}}){\epsilon}^{0}+s(\frac{t}{{t}_{c}}){{\mathrm{ℂ}}^{v}}^{-1}:{\sigma}^{0}`

La déformation visqueuse et la déformation visqueuse équivalente valent:

:math:`{\epsilon}^{v}(t)={e}^{v}(\frac{t}{{t}_{c}}){\epsilon}^{0}`     ;    :math:`{\epsilon}_{\mathit{eq}}^{v}(t)={e}^{v}(\frac{t}{{t}_{c}})\sqrt{\frac{2}{3}{\epsilon}^{0}:{\epsilon}^{0}}`


Résultats de référence
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On s’assurera que la déformation, la déformation visqueuse et la déformation visqueuse cumulée à l’instant :math:`t=2{t}_{c}` correspondent bien aux valeurs analytiques à 1% près en découpant le chargement en 100 pas (:math:`\Delta t=2{t}_{c}/100` ).


Incertitudes sur la solution
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Néant.


Références bibliographiques
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[:ref:`1 <1>`]    E. Lorentz (2022) TUYAUTERIE 3- Relation de comportement robuste dédiée aux calculs de structure en polyéthylène. Note interne EDF 6125-1723-2022-00150.