2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
On s’appuie sur la méthodologie déjà décrite dans le fascicule [V6.04.263] dans laquelle on impose un état de contrainte à symétrie axiale et dont les composantes \({\sigma}_{\mathit{rr}}={\sigma}_{\theta \theta }\) , \({\sigma}_{zz}\) et \({\sigma}_{\mathit{rz}}\) ne dépendent pas de la position \((r,z)\) . Les équations d’équilibre dans le volume sont vérifiées en imposant des forces volumiques dans le cylindre et des forces surfaciques sur les bords du cylindre:
dans le volume : \(f=-{\sigma}_{\mathit{rz}}/r{e}_{z}\)
bord supérieur \(z=H\) : \(T={\sigma}_{zz}{e}_{z}+{\sigma}_{\mathit{rz}}{e}_{r}\)
bord inférieur \(z=0\) : \(T=-{\sigma}_{zz}{e}_{z}-{\sigma}_{\mathit{rz}}{e}_{r}\)
paroi intérieure \(r={R}_{i}\) : \(T=-{\sigma}_{\mathit{rr}}{e}_{r}-{\sigma}_{\mathit{rz}}{e}_{z}\)
paroi extérieure \(r={R}_{e}\) : \(T={\sigma}_{\mathit{rr}}{e}_{r}+{\sigma}_{\mathit{rz}}{e}_{z}\)
Les composantes du champ de déformation dans le repère cylindrique sont également constantes (en espace) et se limitent à \({\epsilon}_{\mathit{rr}}={\epsilon}_{\theta \theta }\) , \({\epsilon}_{zz}\) et \({\epsilon}_{\mathit{rz}}\) . Ce champ de déformation est géométriquement compatible avec le champ de déplacement (à symétrie axiale) suivant:
\({u}_{r}={\epsilon}_{\mathit{rr}}r;{u}_{z}={\epsilon}_{zz}z+2{\epsilon}_{\mathit{rz}}(r-{R}_{i})\)
où on a fixé la constante d’intégration de sorte que \({u}_{z}({R}_{i},0)=0\) , condition aux limites qui bloquele mouvement de corps rigide.
Le trajet du transitoire dans l’espace des contraintes estradial monotone:
\(\sigma (x,t)=q(t){\Sigma}^{0}(x)\)
\({\Sigma}_{\mathit{rr}}^{0}={\Sigma}_{\theta \theta }^{0}=\frac{1}{6};{\Sigma}_{zz}^{0}=\frac{2}{3};{\Sigma}_{\mathit{rz}}^{0}=\frac{1}{2}\)
Et dans ce cas, \({\sigma}_{\mathit{eq}}=q\) . L’équation d’évolution de la déformation plastique s’intègre aisément puisque la direction est fixe, en notant \(\kappa\) la variable d’écrouissage:
\({\epsilon}^{p}=\frac{3}{2}\kappa \mathit{dev}({\Sigma}^{0})\)
Enfin, la déformation élastique se déduit directement de la contrainte et permet de remonter à la déformation \(\epsilon ={\epsilon}^{e}+{\epsilon}^{p}\) et aux déplacements:
\({\epsilon}^{e}=q\left[\frac{1-\nu }{E}{\Sigma}^{0}-\frac{\nu}{E}\mathit{tr}{\Sigma}^{0}\mathit{Id}\right]\)
Il reste donc à déterminer l’évolution de \(\kappa\) en fonction du niveau de chargement \(q(t)\) . On note \(R(\kappa )\) la fonction d’écrouissage:
\(R(\kappa )={R}_{0}+{R}_{H}\kappa +{R}_{1}(1-{e}^{-{\gamma}_{1}\kappa })+{R}_{2}(1-{e}^{-{\gamma}_{2}\kappa })+{R}_{K}{(\kappa +{p}_{0})}^{{\gamma}_{M}}\)
La loi de Norton fournit l’expression suivante qui lie le chargement à la variable d’écrouissage:
\(\dot{\kappa}={\left(\frac{⟨q-R(\kappa )⟩}{K}\right)}^{n}\)
Plutôt que de résoudre explicitement cette équation différentielle, on peut commencer par l’inverser:
\(q=R(\kappa )+V(\dot{\kappa});V(\dot{\kappa})=K{\dot{\kappa}}^{\frac{1}{n}}\)
En choisissant une évolution \(\kappa (t)={\dot{ϵ}}_{0}t\) linéaire en temps, on en déduit le chargement à appliquer par la relation précédente. En pratique, on considère un transitoire d’une durée de 1s, avec \({\dot{ϵ}}_{0}=0.05{s}^{-1}\) .
Il reste à considérer l’état initial en \(t=0\) . La variable d’écrouissage est nulle ainsi que la déformation plastique, compte tenu des relations précédentes. En revanche, l’effort appliqué n’est pas nul puisque que \(q(0)=V({\dot{ϵ}}_{0})={q}_{0}\) . L’état mécanique initial est donc caractérisé par une déformation non nulle, solution du problème élastique sous chargement \({q}_{0}\) .
Dans le cas d’une formulation à gradient de plasticité, les résultats restent inchangés. En effet, la variable d’écrouissage \(\kappa\) est homogène, si bien que son gradient est nul: les effets non locaux n’apparaissent pas dans ce problème (aux erreurs de discrétisation spatiale près).
2.2. Résultats de référence#
On s’assurera qu’en ciblant une déformation plastique cumulée de 5% atteinte en une seconde à taux constant, le modèle retrouve bien les niveaux de contraintes (\({\sigma}_{\mathit{rr}}\) ), de déplacements et de déformations plastiques (\({\epsilon}_{\mathit{rz}}^{p}\) ) attendus.
2.3. Incertitudes sur la solution#
Néant.
2.4. Références bibliographiques#
Néant