Solution de référence ===================== Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- On s’appuie sur la méthodologie déjà décrite dans le fascicule [:ref:`V6.04.263 `] dans laquelle on impose un état de contrainte à symétrie axiale et dont les composantes :math:`{\sigma}_{\mathit{rr}}={\sigma}_{\theta \theta }` , :math:`{\sigma}_{zz}` et :math:`{\sigma}_{\mathit{rz}}` ne dépendent pas de la position :math:`(r,z)` . Les équations d’équilibre dans le volume sont vérifiées en imposant des forces volumiques dans le cylindre et des forces surfaciques sur les bords du cylindre: * * dans le volume : :math:`f=-{\sigma}_{\mathit{rz}}/r{e}_{z}` * bord supérieur :math:`z=H` : :math:`T={\sigma}_{zz}{e}_{z}+{\sigma}_{\mathit{rz}}{e}_{r}` * bord inférieur :math:`z=0` : :math:`T=-{\sigma}_{zz}{e}_{z}-{\sigma}_{\mathit{rz}}{e}_{r}` * paroi intérieure :math:`r={R}_{i}` : :math:`T=-{\sigma}_{\mathit{rr}}{e}_{r}-{\sigma}_{\mathit{rz}}{e}_{z}` * paroi extérieure :math:`r={R}_{e}` : :math:`T={\sigma}_{\mathit{rr}}{e}_{r}+{\sigma}_{\mathit{rz}}{e}_{z}` Les composantes du champ de déformation dans le repère cylindrique sont également constantes (en espace) et se limitent à :math:`{\epsilon}_{\mathit{rr}}={\epsilon}_{\theta \theta }` , :math:`{\epsilon}_{zz}` et :math:`{\epsilon}_{\mathit{rz}}` . Ce champ de déformation est géométriquement compatible avec le champ de déplacement (à symétrie axiale) suivant: :math:`{u}_{r}={\epsilon}_{\mathit{rr}}r;{u}_{z}={\epsilon}_{zz}z+2{\epsilon}_{\mathit{rz}}(r-{R}_{i})` où on a fixé la constante d’intégration de sorte que :math:`{u}_{z}({R}_{i},0)=0` , condition aux limites qui bloquele mouvement de corps rigide. Le trajet du transitoire dans l’espace des contraintes estradial monotone: :math:`\sigma (x,t)=q(t){\Sigma}^{0}(x)` :math:`{\Sigma}_{\mathit{rr}}^{0}={\Sigma}_{\theta \theta }^{0}=\frac{1}{6};{\Sigma}_{zz}^{0}=\frac{2}{3};{\Sigma}_{\mathit{rz}}^{0}=\frac{1}{2}` Et dans ce cas, :math:`{\sigma}_{\mathit{eq}}=q` . L’équation d’évolution de la déformation plastique s’intègre aisément puisque la direction est fixe, en notant :math:`\kappa` la variable d’écrouissage: :math:`{\epsilon}^{p}=\frac{3}{2}\kappa \mathit{dev}({\Sigma}^{0})` Enfin, la déformation élastique se déduit directement de la contrainte et permet de remonter à la déformation :math:`\epsilon ={\epsilon}^{e}+{\epsilon}^{p}` et aux déplacements: :math:`{\epsilon}^{e}=q\left[\frac{1-\nu }{E}{\Sigma}^{0}-\frac{\nu}{E}\mathit{tr}{\Sigma}^{0}\mathit{Id}\right]` Il reste donc à déterminer l’évolution de :math:`\kappa` en fonction du niveau de chargement :math:`q(t)` . On note :math:`R(\kappa )` la fonction d’écrouissage: :math:`R(\kappa )={R}_{0}+{R}_{H}\kappa +{R}_{1}(1-{e}^{-{\gamma}_{1}\kappa })+{R}_{2}(1-{e}^{-{\gamma}_{2}\kappa })+{R}_{K}{(\kappa +{p}_{0})}^{{\gamma}_{M}}` La loi de Norton fournit l’expression suivante qui lie le chargement à la variable d’écrouissage: :math:`\dot{\kappa}={\left(\frac{⟨q-R(\kappa )⟩}{K}\right)}^{n}` Plutôt que de résoudre explicitement cette équation différentielle, on peut commencer par l’inverser: :math:`q=R(\kappa )+V(\dot{\kappa});V(\dot{\kappa})=K{\dot{\kappa}}^{\frac{1}{n}}` En choisissant une évolution :math:`\kappa (t)={\dot{ϵ}}_{0}t` linéaire en temps, on en déduit le chargement à appliquer par la relation précédente. En pratique, on considère un transitoire d’une durée de 1s, avec :math:`{\dot{ϵ}}_{0}=0.05{s}^{-1}` . Il reste à considérer l’état initial en :math:`t=0` . La variable d’écrouissage est nulle ainsi que la déformation plastique, compte tenu des relations précédentes. En revanche, l’effort appliqué n’est pas nul puisque que :math:`q(0)=V({\dot{ϵ}}_{0})={q}_{0}` . L’état mécanique initial est donc caractérisé par une déformation non nulle, solution du problème **élastique** sous chargement :math:`{q}_{0}` . Dans le cas d’une formulation à gradient de plasticité, les résultats restent inchangés. En effet, la variable d’écrouissage :math:`\kappa` est homogène, si bien que son gradient est nul: les effets non locaux n’apparaissent pas dans ce problème (aux erreurs de discrétisation spatiale près). Résultats de référence ---------------------- On s’assurera qu’en ciblant une déformation plastique cumulée de 5% atteinte en une seconde à taux constant, le modèle retrouve bien les niveaux de contraintes (:math:`{\sigma}_{\mathit{rr}}` ), de déplacements et de déformations plastiques (:math:`{\epsilon}_{\mathit{rz}}^{p}` ) attendus. Incertitudes sur la solution ---------------------------- Néant. Références bibliographiques --------------------------- Néant