2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Ce problème admet une solution analytique. On s’inspire très largement des résultats de [Lorentz, Drouet, Hamon, 2020].

Dans le cas d’un chargement uniaxial confiné, la relation de comportement élastique se réduit à:

\({\sigma}^{e}={E}_{c}\epsilon ;{E}_{c}=\lambda +2\mu ;\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )};2\mu =\frac{E}{1+\nu }\)

où on omet dorénavant les indices \(xx\) . Quant à la contrainte visqueuse, elle est régie par l’équation différentielle suivante:

\(\dot{{\sigma}^{v}}+\frac{1}{\tau}{\sigma}^{v}=k\tau \dot{\epsilon};{\sigma}^{v}(0)=0\)

Comme le second membre est constant, elle admet la solution suivante:

\({\sigma}^{v}(t)=k\tau \dot{\epsilon}\left[1-\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right]\)

Et donc la contrainte tenant compte de la régularisation visqueuse vaut:

\(\sigma ={\sigma}^{e}+{\sigma}^{v}={E}_{c}\dot{\epsilon}t+k\tau \dot{\epsilon}\left[1-\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right]\)

Dans la direction transverse, la contrainte visqueuse est nulle, si bien que la contrainte se réduit à la contrainte élastique:

\({\sigma}_{yy}=\lambda \epsilon\)

On peut en déduire aisément l’énergie stockée dans la branche viscoélastique:

\(\mathit{VISCELAS}=\frac{1}{2k}{{\sigma}^{v}}^{2}\)

Ainsi que l’énergie dissipée par la branche viscoélastique en intégrant la dissipation:

\(\mathit{VISCDISS}=k{\tau}^{2}{\dot{\epsilon}}^{2}\left[\frac{t}{\tau}+2\exp(-\frac{t}{\tau})-\frac{1}{2}\exp(-2\frac{t}{\tau})-\frac{3}{2}\right]\)

2.2. Résultats de référence

On s’assurera qu’à \(t=20\text{s}\) , la contrainte axiale et transverse ainsi que la contrainte visqueuse, l’énergie stockée et l’énergie dissipée dans la branche visqueuse correspondent bien aux résultats analytiques.

2.3. Incertitudes sur la solution

Néant.

2.4. Références bibliographiques

Lorentz E., Drouet G. Hamon F. (2020) . CIWAP3 / lot SA – Stabilisation numérique d’un modèle de comportement adoucissant par régularisation viscoélastique. Note interne EDF R&D 6125-1724-2020-01606-FR.