Solution de référence ===================== Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- Ce problème admet une solution analytique. On s’inspire très largement des résultats de [:ref:`Lorentz, Drouet, Hamon, 2020 `]. Dans le cas d’un chargement uniaxial confiné, la relation de comportement élastique se réduit à: :math:`{\sigma}^{e}={E}_{c}\epsilon ;{E}_{c}=\lambda +2\mu ;\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )};2\mu =\frac{E}{1+\nu }` où on omet dorénavant les indices :math:`xx` . Quant à la contrainte visqueuse, elle est régie par l’équation différentielle suivante: :math:`\dot{{\sigma}^{v}}+\frac{1}{\tau}{\sigma}^{v}=k\tau \dot{\epsilon};{\sigma}^{v}(0)=0` Comme le second membre est constant, elle admet la solution suivante: :math:`{\sigma}^{v}(t)=k\tau \dot{\epsilon}\left[1-\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right]` Et donc la contrainte tenant compte de la régularisation visqueuse vaut: :math:`\sigma ={\sigma}^{e}+{\sigma}^{v}={E}_{c}\dot{\epsilon}t+k\tau \dot{\epsilon}\left[1-\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\right]` Dans la direction transverse, la contrainte visqueuse est nulle, si bien que la contrainte se réduit à la contrainte élastique: :math:`{\sigma}_{yy}=\lambda \epsilon` On peut en déduire aisément l’énergie stockée dans la branche viscoélastique: :math:`\mathit{VISCELAS}=\frac{1}{2k}{{\sigma}^{v}}^{2}` Ainsi que l’énergie dissipée par la branche viscoélastique en intégrant la dissipation: :math:`\mathit{VISCDISS}=k{\tau}^{2}{\dot{\epsilon}}^{2}\left[\frac{t}{\tau}+2\exp(-\frac{t}{\tau})-\frac{1}{2}\exp(-2\frac{t}{\tau})-\frac{3}{2}\right]` Résultats de référence ---------------------- On s’assurera qu’à :math:`t=20\text{s}` , la contrainte axiale et transverse ainsi que la contrainte visqueuse, l’énergie stockée et l’énergie dissipée dans la branche visqueuse correspondent bien aux résultats analytiques. Incertitudes sur la solution ---------------------------- Néant. Références bibliographiques --------------------------- Lorentz E., Drouet G. Hamon F. (2020) . CIWAP3 / lot SA – Stabilisation numérique d’un modèle de comportement adoucissant par régularisation viscoélastique. Note interne EDF R&D 6125-1724-2020-01606-FR.