2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul

Il s’agit d’une solution analytique. Compte tenu des conditions aux limites, les déplacements peuvent être obtenus à partir de la résolution analytique de l’équation de conservation de la quantité de mouvement.

En négligeant la pesanteur, l’équation s’écrit (en contraintes totales):

\(\text{Div}(\sigma )=0\)

Le module de Poisson \(\nu\) étant nul, et étant dans le cas élastique, on a \(\sigma =Eϵ\) .

Le volume étudié est à symétrie sphérique, constitué d’un matériau homogène et isotrope; les conditions aux limites possèdent aussi la symétrie sphérique. On est donc amené à chercher une solution du problème dans un système de coordonnées sphériques \((r,\theta ,\varphi )\) tel que les champs de déplacement, de contrainte et de déformation soient respectivement de la forme:

\(\lbrace \begin{array}{c}{u}_{\text{r}}=h(r)\\ {u}_{\theta}={u}_{\varphi}=0\end{array}\) \(\lbrace \begin{array}{c}{\sigma}_{\text{rr}}={f}_{1}(r)\\ \begin{array}{c}{\sigma}_{\theta \theta }={\sigma}_{\varphi \varphi }={g}_{1}(r)\\ {\sigma}_{r\theta }={\sigma}_{r\varphi }={\sigma}_{\theta \varphi }=0\end{array}\end{array}\) \(\lbrace \begin{array}{c}{ϵ}_{\text{rr}}={f}_{2}(r)\\ \begin{array}{c}{ϵ}_{\theta \theta }={ϵ}_{\varphi \varphi }={g}_{2}(r)\\ {ϵ}_{r\theta }={ϵ}_{r\varphi }={ϵ}_{\theta \varphi }=0\end{array}\end{array}\)

L’équation d’équilibre \(\text{Div}(\sigma )=0\) se réduit alors à: \(\frac{d{\sigma}_{\text{rr}}}{\mathit{dr}}+\frac{2}{r}\ast ({\sigma}_{\text{rr}}-{\sigma}_{\theta \theta })=0\)

Les conditions aux limites statiques sont de la forme: \({\sigma}_{\text{rr}}(R)=-p\)

Les équations cinématiques ont la forme: \(\lbrace \begin{array}{c}{ϵ}_{\text{rr}}=\frac{{\mathit{du}}_{\text{r}}}{\mathit{dr}}\\ {ϵ}_{\theta \theta }=\frac{{u}_{\text{r}}}{r}\end{array}\) soit finalement: \(\lbrace \begin{array}{c}{\sigma}_{\text{rr}}=E\ast \frac{{\mathit{du}}_{\text{r}}}{\mathit{dr}}\\ {\sigma}_{\theta \theta }=E\ast \frac{{u}_{\text{r}}}{r}\end{array}\)

En substituant ces deux relations dans l’équation d’équilibre on obtient:

\(\frac{\mathit{d²}{u}_{\text{r}}}{\mathit{dr²}}+\frac{2}{r}\ast (\frac{{\mathit{du}}_{\text{r}}}{\mathit{dr}}-\frac{{u}_{\text{r}}}{r})=0\) soit \(\frac{d}{\mathit{dr}}(\frac{1}{\mathit{r²}}\frac{d({\mathit{r²u}}_{r})}{\mathit{dr}})=0\)

La solution de cette équation différentielle est: \({u}_{r}(r)={C}_{1}r+\frac{{C}_{2}}{\mathit{r²}}\) . La solution cherchée étant discontinue en \(R\) , on résout cette équation séparément sur les deux domaines \([{R}_{i},R]\) et \([R,{R}_{e}]\) .

Finalement: \(\lbrace \begin{array}{c}{u}_{\text{r}}(r)={C}_{1}r+\frac{{C}_{2}}{\mathit{r²}}\text{}\mathit{sur}[{R}_{i},R]\\ {u}_{r}(r)={C}_{3}r+\frac{{C}_{4}}{\mathit{r²}}\text{}\mathit{sur}[R,{R}_{e}]\end{array}\)

D’après les conditions aux limites cinématiques, \({u}_{r}({R}_{i})={u}_{r}({R}_{e})=0\) donc \(\lbrace \begin{array}{c}{C}_{1}{R}_{i}+\frac{{C}_{2}}{{R}_{i}\mathrm{²}}=0\\ {C}_{3}{R}_{e}+\frac{{C}_{4}}{{R}_{e}\mathrm{²}}=0\end{array}\)

Par ailleurs \({\sigma}_{\text{rr}}=E\ast \frac{{\mathit{du}}_{\text{r}}}{\mathit{dr}}=\lbrace \begin{array}{c}E\ast {C}_{1}-2E\ast \frac{{C}_{2}}{\mathit{r³}}\text{}\mathit{sur}[{R}_{i},R]\\ E\ast {C}_{3}-2E\ast \frac{{C}_{4}}{\mathit{r³}}\text{}\mathit{sur}[R,{R}_{e}]\end{array}\) donc d’après les conditions aux limites statiques: \(\lbrace \begin{array}{c}{C}_{1}-2\ast \frac{{C}_{2}}{\mathit{R³}}=-\frac{p}{E}\\ {C}_{3}-2\ast \frac{{C}_{4}}{\mathit{R³}}=-\frac{p}{E}\end{array}\) .

La résolution du système donne \(\lbrace \begin{array}{c}\begin{array}{c}{C}_{1}=\frac{-p}{E\ast (2\ast \frac{{R}_{i}\mathrm{³}}{R\mathrm{³}}+1)}\\ {C}_{2}=\frac{p}{E\ast (\frac{2}{\mathit{R³}}+\frac{1}{{R}_{i}\mathrm{³}})}\end{array}\\ \begin{array}{c}{C}_{3}=\frac{-p}{E\ast (2\ast \frac{{R}_{e}\mathrm{³}}{R\mathrm{³}}+1)}\\ {C}_{4}=\frac{p}{E\ast (\frac{2}{\mathit{R³}}+\frac{1}{{R}_{e}\mathrm{³}})}\end{array}\end{array}\)

2.2. Grandeurs et résultats de référence

On teste la valeur des déplacements radiaux de part et d’autres de l’interface.

Grandeurs testées	Type de référence	Valeur de référence
UR(en dessous)	“ANALYTIQUE”	-0.0001142742582
UR(en dessus)	“ANALYTIQUE”	6.173526141E-05

2.3. Incertitudes sur la solution

Aucune, la solution est analytique.