2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Ce problème admet une solution analytique. Durant la phase de traction, on détermine la relation qui à la déformation imposée \(\varepsilon\) associe le niveau d’endommagement homogène \(a\) . On adopte ici une déformation uniaxiale de la forme:
\(\epsilon =\epsilon n\otimes n\text{où}∥n∥=1\text{et}\epsilon >0\)
Il s’agit donc d’un problème en traction uniaxiale confinée. Le problème étant homogène, l’endommagement (en charge) et la déformation sont liés par la relation de cohérence :
\(A'(a)\Gamma (\epsilon )+\omega '(a)=0\) avec \(\omega (a)=\mathit{ka},A(a)=\frac{{(1-a)}^{2}}{{(1-a)}^{2}+\mathit{ma}(1+\mathit{pa})}\)
La fonction G s’appuie sur la forme du critère qui définit le domaine d’élasticité, cf. [R5.03.28] ou, de manière plus détaillée, [Lorentz, 2016]. Dans le cas présent d’une traction / compression uniaxiale confinée, elle s’écrit simplement:
\(\Gamma (\epsilon )=\frac{1}{2}{E}_{c}{\epsilon}^{2}\) où \({E}_{c}=\lambda +2\mu\)
On en déduit donc simplement la relation entre \(\epsilon\) et \(a\) :
\(\epsilon =\sqrt{\frac{-2k}{{E}_{c}A'(a)}}\)
Pour le cas-test, la déformation croîtra jusqu’à un niveau tel que le niveau d’endommagement vaille \(a=0.2\) et on testera que l’endommagement atteint bien sa valeur cible.
Dans un deuxième temps, on relâche la déformation puis on impose une compression jusqu’à un niveau \({\epsilon}_{\mathit{comp}}=-2{\sigma}^{c}/{E}_{c}\) . L’endommagement n’évolue plus. La relation contrainte – déformation s’écrit:
\(\sigma =A(a){E}_{c}\epsilon +\frac{1}{2}(1-A(a)){E}_{c}S'(\epsilon )\) où \(S(\epsilon )={\langle -\epsilon \rangle }^{2}\exp(\frac{1}{\gamma \epsilon })\)
La décharge s’effectue donc linéairement avec un module de rigidité sécant \(A(a){E}_{c}\) . Puis, en phase de compression, le modèle restitue progressivement la rigidité selon la relation ci-dessus. On vérifie dans le test que le niveau de contrainte est bien celui correspondant à la relation analytique. En pratique, plutôt que de projeter le tenseur de contrainte sur la direction de sollicitation, on s’assure que l’énergie de déformation obtenue via la commande POST_ELEM (mot-clé facteur TRAV_EXT, composante TRAV_ELAS) est bien égale à la valeur attendue, soit:
\(\frac{\mathit{vol}(\Omega )}{2}\sigma :ϵ=\frac{\mathit{vol}(\Omega )}{2}\sigma ϵ\) où \(\mathit{vol}(\Omega )\) désigne le volume de l’élément (4 mm2 ou 8 mm3)
2.2. Résultats de référence#
En déformations planes, on adopte une direction de sollicitation \(n=(1/\sqrt{5,}2/\sqrt{5})\) . En 3D, il vaut \(n=(1/\sqrt{14,}2/\sqrt{14,}3/\sqrt{14})\) . On se fixe comme cible un endommagement \(a=0.2\) ; cela correspond à une intensité de sollicitation \(\epsilon =2.86\times {10}^{-4}\) d’après la solution de référence ci-dessus.
Le chargement est appliqué moyennant la technique de pilotage PRED_ELAS dans laquelle on fixe la borne maximale de sorte à atteindre le niveau de déformation \(\varepsilon\) ci-dessus. On vérifiera que l’endommagement correspondant atteint bien 0.2.
En compression, le niveau de déformation imposée s’élève à \({\epsilon}_{\mathit{comp}}=-1.8\times {10}^{-4}\) pour une contrainte de \({\sigma}_{\mathit{comp}}=-4.537\text{MPa}\) .
2.3. Incertitudes sur la solution#
Néant.
2.4. Références bibliographiques#
Lorentz E. (2016) A nonlocal damage model for plain concrete consistent with cohesive fracture. Submitted to J. Mech. Phys. Solids.