Solution de référence ===================== Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- Ce problème admet une solution analytique. Durant la phase de traction, on détermine la relation qui à la déformation imposée :math:`\varepsilon` associe le niveau d’endommagement homogène :math:`a` . On adopte ici une déformation uniaxiale de la forme: :math:`\epsilon =\epsilon n\otimes n\text{où}∥n∥=1\text{et}\epsilon >0` Il s'agit donc d'un problème en traction uniaxiale confinée. Le problème étant homogène, l’endommagement (en charge) et la déformation sont liés par la relation de cohérence : :math:`A'(a)\Gamma (\epsilon )+\omega '(a)=0` avec :math:`\omega (a)=\mathit{ka},A(a)=\frac{{(1-a)}^{2}}{{(1-a)}^{2}+\mathit{ma}(1+\mathit{pa})}` La fonction G s'appuie sur la forme du critère qui définit le domaine d'élasticité, cf. [:ref:`R5.03.28 `] ou, de manière plus détaillée, [:ref:`Lorentz, 2016 `]. Dans le cas présent d'une traction / compression uniaxiale confinée, elle s'écrit simplement: :math:`\Gamma (\epsilon )=\frac{1}{2}{E}_{c}{\epsilon}^{2}` où :math:`{E}_{c}=\lambda +2\mu` On en déduit donc simplement la relation entre :math:`\epsilon` et :math:`a` : :math:`\epsilon =\sqrt{\frac{-2k}{{E}_{c}A'(a)}}` Pour le cas-test, la déformation croîtra jusqu'à un niveau tel que le niveau d'endommagement vaille :math:`a=0.2` et on testera que l'endommagement atteint bien sa valeur cible. Dans un deuxième temps, on relâche la déformation puis on impose une compression jusqu'à un niveau :math:`{\epsilon}_{\mathit{comp}}=-2{\sigma}^{c}/{E}_{c}` . L'endommagement n'évolue plus. La relation contrainte – déformation s'écrit: :math:`\sigma =A(a){E}_{c}\epsilon +\frac{1}{2}(1-A(a)){E}_{c}S'(\epsilon )` où :math:`S(\epsilon )={\langle -\epsilon \rangle }^{2}\exp(\frac{1}{\gamma \epsilon })` La décharge s'effectue donc linéairement avec un module de rigidité sécant :math:`A(a){E}_{c}` . Puis, en phase de compression, le modèle restitue progressivement la rigidité selon la relation ci-dessus. On vérifie dans le test que le niveau de contrainte est bien celui correspondant à la relation analytique. En pratique, plutôt que de projeter le tenseur de contrainte sur la direction de sollicitation, on s'assure que l'énergie de déformation obtenue via la commande POST_ELEM (mot-clé facteur TRAV_EXT, composante TRAV_ELAS) est bien égale à la valeur attendue, soit: :math:`\frac{\mathit{vol}(\Omega )}{2}\sigma :ϵ=\frac{\mathit{vol}(\Omega )}{2}\sigma ϵ` où :math:`\mathit{vol}(\Omega )` désigne le volume de l'élément (4 mm2 ou 8 mm3) Résultats de référence ---------------------- En déformations planes, on adopte une direction de sollicitation :math:`n=(1/\sqrt{5,}2/\sqrt{5})` . En 3D, il vaut :math:`n=(1/\sqrt{14,}2/\sqrt{14,}3/\sqrt{14})` . On se fixe comme cible un endommagement :math:`a=0.2` ; cela correspond à une intensité de sollicitation :math:`\epsilon =2.86\times {10}^{-4}` d’après la solution de référence ci-dessus. Le chargement est appliqué moyennant la technique de pilotage PRED_ELAS dans laquelle on fixe la borne maximale de sorte à atteindre le niveau de déformation :math:`\varepsilon` ci-dessus. On vérifiera que l’endommagement correspondant atteint bien 0.2. En compression, le niveau de déformation imposée s'élève à :math:`{\epsilon}_{\mathit{comp}}=-1.8\times {10}^{-4}` pour une contrainte de :math:`{\sigma}_{\mathit{comp}}=-4.537\text{MPa}` . Incertitudes sur la solution ---------------------------- Néant. Références bibliographiques --------------------------- Lorentz E. (2016) A nonlocal damage model for plain concrete consistent with cohesive fracture. Submitted to J. Mech. Phys. Solids.