2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Ce problème admet une solution analytique. On détermine la relation qui à la déformation imposée \(\varepsilon\) associe le niveau d’endommagement homogène \(a\) (problème réciproque où plus généralement non-local n’admet plus de solution analytique simple). Le problème étant homogène, l’endommagement (en charge) et la déformation sont liés par la relation de cohérence (fonction seuil) :

\({A}^{'}(a)\Gamma (\varepsilon )+{\omega}^{'}(a)=0\)

avec

\(\omega (a)=\mathrm{ka},A(a)=\frac{{(1-a)}^{2}}{{(1-a)}^{2}+\mathrm{ma}(1+\mathrm{pa})}\text{et}\Gamma (\varepsilon )=\left[{c}_{T}\mathrm{tr}\varepsilon +\sqrt{{c}_{H}{\mathrm{tr}}^{2}\varepsilon +{c}_{S}{\varepsilon}_{\mathrm{eq}}^{2}}\right]\)

où les paramètres \({c}_{T},{c}_{H}\text{et}{c}_{S}\) se déduisent des données du problème par :

\({c}_{S}=\frac{E}{2}\left[(1-2\nu ){c}_{\mathrm{comp}}+(1+\nu )\sqrt{\frac{1-2\nu }{2(1+\nu )}{c}_{\mathrm{volu}}+1}\right];{c}_{T}={c}_{\mathrm{comp}}\sqrt{{c}_{S}};{c}_{H}=\frac{1+\nu }{2(1-2\nu )}{c}_{\mathrm{volu}}{c}_{S}\)

On adopte une déformation uniaxiale de la forme:

\(\varepsilon =\varepsilon n\otimes n\text{où}∥n∥=1\text{et}\varepsilon >0\)

Dans ce cas la fonction seuil en déformation s’écrit simplement : \(\Gamma (\varepsilon )=\left[{c}_{T}+\sqrt{{c}_{H}+{c}_{S}}\right]\varepsilon\)

Pour atteindre l’endommagement \(a\) donné, en sollicitant la déformation dans la direction \(n\) , il faut donc imposer une intensité de déformation :

\(\varepsilon =\frac{-k}{{A}^{'}(a)\left[{c}_{T}+\sqrt{{c}_{H}+{c}_{S}}\right]}\)

Pour la solution de référence nous adoptons donc une stratégie suivante : on se fixe le niveau d’endommagement est on vérifie par les calculs EF, que pour une déformation théorique estimée on atteint ce même niveau d’endommagement.

2.2. Résultats de référence

En déformations planes, on adopte une direction de sollicitation \(n=(1/\sqrt{5,}2/\sqrt{5})\) . En \(\mathrm{3D}\) , il vaut \(n=(1/\sqrt{14,}2/\sqrt{14,}3/\sqrt{14})\) . On se fixe comme cible un endommagement \(a=0.6\) ; cela correspond à une intensité de sollicitation \(\varepsilon =9.574237\times {10}^{-4}\) d’après la solution de référence ci-dessus.

Le chargement est appliqué moyennant la technique de pilotage PRED_ELAS dans laquelle on fixe la borne maximale de sorte à atteindre le niveau de déformation \(\varepsilon\) ci-dessus. On vérifiera que l’endommagement correspondant atteint bien \(0.6\) .

2.3. Incertitudes sur la solution

Néant

2.4. Références bibliographiques

Sans objet