Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Ce problème admet une solution analytique. On détermine la relation qui à la déformation imposée :math:`\varepsilon` associe le niveau d’endommagement homogène :math:`a` (problème réciproque où plus généralement non-local n'admet plus de solution analytique simple). Le problème étant homogène, l’endommagement (en charge) et la déformation sont liés par la relation de cohérence (fonction seuil) :

:math:`{A}^{'}(a)\Gamma (\varepsilon )+{\omega}^{'}(a)=0`

avec

:math:`\omega (a)=\mathrm{ka},A(a)=\frac{{(1-a)}^{2}}{{(1-a)}^{2}+\mathrm{ma}(1+\mathrm{pa})}\text{et}\Gamma (\varepsilon )=\left[{c}_{T}\mathrm{tr}\varepsilon +\sqrt{{c}_{H}{\mathrm{tr}}^{2}\varepsilon +{c}_{S}{\varepsilon}_{\mathrm{eq}}^{2}}\right]`

où les paramètres :math:`{c}_{T},{c}_{H}\text{et}{c}_{S}` se déduisent des données du problème par :

:math:`{c}_{S}=\frac{E}{2}\left[(1-2\nu ){c}_{\mathrm{comp}}+(1+\nu )\sqrt{\frac{1-2\nu }{2(1+\nu )}{c}_{\mathrm{volu}}+1}\right];{c}_{T}={c}_{\mathrm{comp}}\sqrt{{c}_{S}};{c}_{H}=\frac{1+\nu }{2(1-2\nu )}{c}_{\mathrm{volu}}{c}_{S}`

On adopte une déformation uniaxiale de la forme:

:math:`\varepsilon =\varepsilon n\otimes n\text{où}∥n∥=1\text{et}\varepsilon >0`

Dans ce cas la fonction seuil en déformation s'écrit simplement : :math:`\Gamma (\varepsilon )=\left[{c}_{T}+\sqrt{{c}_{H}+{c}_{S}}\right]\varepsilon`

Pour atteindre l’endommagement :math:`a` donné, en sollicitant la déformation dans la direction :math:`n` , il faut donc imposer une intensité de déformation :

:math:`\varepsilon =\frac{-k}{{A}^{'}(a)\left[{c}_{T}+\sqrt{{c}_{H}+{c}_{S}}\right]}`

Pour la solution de référence nous adoptons donc une stratégie suivante : on se fixe le niveau d'endommagement est on vérifie par les calculs EF, que pour une déformation théorique estimée on atteint ce même niveau d'endommagement.


Résultats de référence
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En déformations planes, on adopte une direction de sollicitation :math:`n=(1/\sqrt{5,}2/\sqrt{5})` . En :math:`\mathrm{3D}` , il vaut :math:`n=(1/\sqrt{14,}2/\sqrt{14,}3/\sqrt{14})` . On se fixe comme cible un endommagement :math:`a=0.6` ; cela correspond à une intensité de sollicitation :math:`\varepsilon =9.574237\times {10}^{-4}` d’après la solution de référence ci-dessus.

Le chargement est appliqué moyennant la technique de pilotage PRED_ELAS dans laquelle on fixe la borne maximale de sorte à atteindre le niveau de déformation :math:`\varepsilon` ci-dessus. On vérifiera que l’endommagement correspondant atteint bien :math:`0.6` .


Incertitudes sur la solution
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Néant


Références bibliographiques
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Sans objet