2. Solution de référence#

La modélisation vérifie le comportement de la loi à écrouissage linéaire.

2.1. Méthode de calcul#

Les équations qui nous intéressent pour le calcul analytique sont (\({I}_{1}=\text{tr}(\sigma )\) : trace du tenseur des contraintes, \({\varepsilon}_{v}^{p}\) : déformation plastique volumique) :

  • loi constitutive plastique sur la partie volumique :

(2.7)#\[{I}_{1}=\mathrm{3K}({\varepsilon}_{v}-{\varepsilon}_{v}^{p})\]

  • surface critère, en posant nulle la contrainte de Von Mises (\({\sigma}_{\mathrm{eq}}=0\) ) :

(2.7)#\[F(\sigma ,p)=\alpha {I}_{1}-R(p)\]

  • relation entre la déformation plastique volumique et la déformation plastique cumulée (variable interne de la loi plastique) :

(2.7)#\[\dot{{\varepsilon}_{v}^{p}}=3\alpha \dot{p}\]

  • expression de l’écrouissage

    • linéaire :

(2.7)#\[\begin{split}\begin{array}{}R(p)={\sigma}_{Y}+hp\mathrm{si}p\le {p}_{\mathrm{ult}}\\ R(p)={\sigma}_{Y}+h{p}_{\mathrm{ult}}={\sigma}_{Y}^{\mathrm{ult}}\mathrm{si}p>{p}_{\mathrm{ult}}\end{array}\end{split}\]

    • parabolique :

\[ \begin{align}\begin{aligned}:label: eq-None\\\begin{split} \begin{array}{}R(p)={\sigma}_{Y}{(1-(1-\sqrt{\frac{{\sigma}_{Y}^{\mathrm{ult}}}{{\sigma}_{Y}}})\frac{p}{{p}_{\mathrm{ult}}})}^{2}\mathrm{si}p\le {p}_{\mathrm{ult}}\\ R(p)={\sigma}_{Y}^{\mathrm{ult}}\mathrm{si}p>{p}_{\mathrm{ult}}\end{array}\end{split}\\On observe que, comme dans le cas linéaire, :math:`R(p)={\sigma}_{Y}` si :math:`p=0` et on a plasticité parfaite si :math:`p>{p}_{\mathrm{ult}}` .\end{aligned}\end{align} \]

2.1.1. Déformation à la limite élastique initiale#

Cette déformation est obtenue pour \({\varepsilon}_{v}^{p}=p=0\) .

Si on pose \(F(\sigma ,p)=0\) (évolution plastique) on a :

\({I}_{1}^{\mathrm{el}}=\frac{R(p)}{\alpha}=\frac{{\sigma}_{Y}}{\alpha}\)

\({\varepsilon}_{v}^{\mathrm{el}}=\frac{{I}_{1}^{\mathrm{el}}}{3K}\)

2.1.2. Déformation ultime#

On appelle déformation ultime \({\varepsilon}_{v}^{\mathrm{ult}}\) celle obtenue pour \(p={p}_{\mathrm{ult}}\) .

On trouve facilement la trace de contraintes \({I}_{1}^{\mathrm{ult}}\) et la déformation plastique \({\varepsilon}_{v}^{\mathrm{pult}}\) correspondantes :

\({I}_{1}^{\mathrm{ult}}=\frac{R(p)}{\alpha}=\frac{{\sigma}_{Y}^{\mathrm{ult}}}{\alpha}\)

\({\varepsilon}_{v}^{\mathrm{pult}}=3\alpha {p}_{\mathrm{ult}}\)

\({\varepsilon}_{v}^{\mathrm{ult}}=\frac{{I}_{1}^{\mathrm{ult}}}{3K}+{\varepsilon}_{v}^{\mathrm{pult}}\)

2.1.3. Déformation entre la limite élastique et la déformation ultime#

On calcule d’abord la déformation plastique cumulée.

  • En combinant les équations (), (), () et () avec \(F(\sigma ,p)=0\) pour l’écrouissage linéaire on a :

(2.7)#\[p=\frac{3KA{\varepsilon}_{\mathrm{v1}}-{\sigma}_{Y}}{9K{\alpha}^{2}+h}\]

  • En combinant les équations (), (), () et () avec \(F(\sigma ,p)=0\) pour l “écrouissage parabolique on arrive à l’équation de dégréé 2 :

(2.7)#\[\begin{split}{A}_{1}{\stackrel{ˉ}{p}}^{2}+{B}_{1}\stackrel{ˉ}{p}+{C}_{1}=0 \begin{array}{}{A}_{1}={\sigma}_{Y}{(1-\gamma )}^{2}\\ {B}_{1}=9K{\alpha}^{2}{p}_{\mathrm{ult}}-2{\sigma}_{Y}(1-\gamma )\\ {C}_{1}={\sigma}_{Y}-3K\alpha {\varepsilon}_{v1}\\ \gamma =\sqrt{\frac{{\sigma}_{Y}^{\mathrm{ult}}}{{\sigma}_{Y}}}\\ \stackrel{ˉ}{p}=\frac{p}{{p}_{\mathrm{ult}}}\end{array}\end{split}\]

On utilise alors les équations () () pour trouver la déformation plastique \({\varepsilon}_{v}^{p}\) et la trace des contraintes \({I}_{1}\) .

Si on fait décharger le matériau de façon élastique jusqu’à contrainte nulle, on retrouve une déformation résiduelle égale à la déformation plastique ; il faut par contre charger le matériau en compression pour obtenir un déformation totale nulle. Cette deuxième branche est aussi élastique, car le matériau de Drücker-Prager ne peut pas plastifier en état de compression hydrostatique. Dans ce dernier cas, la trace des contraintes, négative, est :

(2.7)#\[{I}_{1}^{c}=-3K{\varepsilon}_{v}^{p}\]

2.1.4. Déformation supérieure à la déformation ultime#

On trouve facilement toutes les quantités d’intérêt, car la trace de contraintes est connue a priori et égale à \({I}_{1}^{\mathrm{ult}}\) .

\({\varepsilon}_{v}^{p}={\varepsilon}_{v}-\frac{{I}_{1}^{\mathrm{ult}}}{3K}\)

\(p=\frac{{\varepsilon}_{v}^{p}}{3\alpha }\)

2.2. Grandeurs et résultats de référence#

Le module de compressibilité \(K\) est :

\(K=\frac{E}{3(1-2\nu )}=2000\mathrm{MPa}\)

2.2.1. Déformation à la limite élastique#

Pour les deux modélisations on trouve facilement :

\({I}_{1}^{\mathrm{el}}=30\mathrm{MPa}\)

\({\varepsilon}_{v}^{\mathrm{el}}=0,005\)

2.2.2. Déformation ultime#

Pour les deux modélisations on trouve :

\({I}_{1}^{\mathrm{ult}}=50\mathrm{MPa}\)

\({\varepsilon}_{v}^{\mathrm{pult}}=0,024\)

\({\varepsilon}_{v}^{\mathrm{ult}}\approx 0,03233\)

2.2.3. Déformation égale à 0,018 et décharge à déformation nulle#

Cette valeur de déformation \({\varepsilon}_{v1}=0,018\) est supérieure à la limite élastique \({\varepsilon}_{v}^{\mathrm{el}}\) et inférieure à \({\varepsilon}_{v}^{\mathrm{ult}}\) . On calcule d’abord la déformation plastique cumulée avec les équations () et (), puis la déformation plastique et la trace des contraintes :

  • écrouissage linéaire :

\({p}_{1}=\frac{3KA{\varepsilon}_{\mathrm{v1}}-{\sigma}_{Y}}{9K{\alpha}^{2}+h}\approx 0,019\)

\({\varepsilon}_{v1}^{p}=3\alpha {p}_{1}=0,0114\)

\({I}_{1}^{1}=3K({\varepsilon}_{v1}-{\varepsilon}_{v1}^{p})\approx 39,51\mathrm{MPa}\)

  • écrouissage parabolique :

\({p}_{1}\approx 0.0192\)

\({\varepsilon}_{v1}^{p}=3\alpha {p}_{1}\approx 0.0115\)

\({I}_{1}^{1}=3K({\varepsilon}_{v1}-{\varepsilon}_{v1}^{p})\approx 38.956\mathrm{MPa}\)

La trace des contraintes à déformation nulle est :

  • écrouissage linéaire :

\({I}_{1}^{\mathrm{1c}}=-3K{\varepsilon}_{v1}^{p}\approx -68,49\mathrm{MPa}\)

  • écrouissage parabolique :

\({I}_{1}^{\mathrm{1c}}=-3K{\varepsilon}_{v1}^{p}\approx -69,044\mathrm{MPa}\)

En effet, la différence entre le cas parabolique et linéaire est très faible.

2.2.4. Chargement jusqu’à déformation égale à 0,045 et 0,06#

On recharge le matériau jusqu’aux valeurs de déformation \({\varepsilon}_{v2}=0,045\) et \({\varepsilon}_{v3}=0,06\) , supérieures à \({\varepsilon}_{v}^{\mathrm{ult}}\) .

Les résultats sont les mêmes pour les deux modélisations.

Pour \({\varepsilon}_{v2}=0,045\) :

\({\varepsilon}_{v2}^{p}={\varepsilon}_{v2}-\frac{{I}_{1}^{\mathrm{ult}}}{3K}\approx 0,03667\)

\({p}_{2}=\frac{{\varepsilon}_{v2}^{p}}{3\alpha }\approx 0,0611\)

Suite à la décharge élastique (jusqu’à contrainte nulle), on retrouve \({\varepsilon}_{v}={\varepsilon}_{v2}^{p}\) , \(p={p}_{2}\) .

Pour \({\varepsilon}_{v3}=0,06\) :

\({\varepsilon}_{v3}^{p}={\varepsilon}_{v3}-\frac{{I}_{1}^{\mathrm{ult}}}{3K}\approx 0,051667\)

\({p}_{3}=\frac{{\varepsilon}_{v3}^{p}}{3\alpha }\approx 0,0861\)

2.2.5. Courbes contrainte-déformation#

Dans les Figures () et () on représente la courbe (\({\varepsilon}_{v},{I}_{1}\) ) pour l’écrouissage linéaire et parabolique. En rouge sont les points testés par le cas-test.

_images/10000000000002A2000001EADCF6892A359ABF61.jpg

Figure 2.2.5-a : courbes contrainte-déformation pour écrouissage linéaire.

_images/10000000000002A5000001E28E1C79F903020CD2.jpg

Figure 2.2.5-b : courbes contrainte-déformation pour écrouissage parabolique.

2.3. Incertitudes sur la solution#

La solution est analytique.

2.4. Références bibliographiques#

  1. Document [R3.01.16], Intégration du comportement mécanique élasto-plastique de Drücker-Prager DRUCK_PRAGER et post-traitements. Manuel de référence Code_Aster.