Solution de référence
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La modélisation vérifie le comportement de la loi à écrouissage linéaire.


Méthode de calcul
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Les équations qui nous intéressent pour le calcul analytique sont (:math:`{I}_{1}=\text{tr}(\sigma )` : trace du tenseur des contraintes, :math:`{\varepsilon}_{v}^{p}` : déformation plastique volumique) :


*   loi constitutive plastique sur la partie volumique :


.. math::
    :label: eq-None

    {I}_{1}=\mathrm{3K}({\varepsilon}_{v}-{\varepsilon}_{v}^{p})


*   surface critère, en posant nulle la contrainte de Von Mises (:math:`{\sigma}_{\mathrm{eq}}=0` ) :


.. math::
    :label: eq-None

    F(\sigma ,p)=\alpha {I}_{1}-R(p)


*   relation entre la déformation plastique volumique et la déformation plastique cumulée (variable interne de la loi plastique) :


.. math::
    :label: eq-None

    \dot{{\varepsilon}_{v}^{p}}=3\alpha \dot{p}


*   expression de l'écrouissage


    *   linéaire :


.. math::
    :label: eq-None

    \begin{array}{}R(p)={\sigma}_{Y}+hp\mathrm{si}p\le {p}_{\mathrm{ult}}\\ R(p)={\sigma}_{Y}+h{p}_{\mathrm{ult}}={\sigma}_{Y}^{\mathrm{ult}}\mathrm{si}p>{p}_{\mathrm{ult}}\end{array}


*
    *   parabolique :


.. math::
    :label: eq-None

    \begin{array}{}R(p)={\sigma}_{Y}{(1-(1-\sqrt{\frac{{\sigma}_{Y}^{\mathrm{ult}}}{{\sigma}_{Y}}})\frac{p}{{p}_{\mathrm{ult}}})}^{2}\mathrm{si}p\le {p}_{\mathrm{ult}}\\ R(p)={\sigma}_{Y}^{\mathrm{ult}}\mathrm{si}p>{p}_{\mathrm{ult}}\end{array}

 On observe que, comme dans le cas linéaire, :math:`R(p)={\sigma}_{Y}` si :math:`p=0` et on a plasticité parfaite si     :math:`p>{p}_{\mathrm{ult}}` .


Déformation à la limite élastique initiale
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Cette déformation est obtenue pour :math:`{\varepsilon}_{v}^{p}=p=0` .

Si on pose :math:`F(\sigma ,p)=0` (évolution plastique) on a :

:math:`{I}_{1}^{\mathrm{el}}=\frac{R(p)}{\alpha}=\frac{{\sigma}_{Y}}{\alpha}`

:math:`{\varepsilon}_{v}^{\mathrm{el}}=\frac{{I}_{1}^{\mathrm{el}}}{3K}`


Déformation ultime
~~~~~~~~~~~~~~~~~~

On appelle déformation ultime :math:`{\varepsilon}_{v}^{\mathrm{ult}}` celle obtenue pour :math:`p={p}_{\mathrm{ult}}` .

On trouve facilement la trace de contraintes :math:`{I}_{1}^{\mathrm{ult}}` et la déformation plastique :math:`{\varepsilon}_{v}^{\mathrm{pult}}` correspondantes :

:math:`{I}_{1}^{\mathrm{ult}}=\frac{R(p)}{\alpha}=\frac{{\sigma}_{Y}^{\mathrm{ult}}}{\alpha}`

:math:`{\varepsilon}_{v}^{\mathrm{pult}}=3\alpha {p}_{\mathrm{ult}}`

:math:`{\varepsilon}_{v}^{\mathrm{ult}}=\frac{{I}_{1}^{\mathrm{ult}}}{3K}+{\varepsilon}_{v}^{\mathrm{pult}}`


Déformation entre la limite élastique et la déformation ultime
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

On calcule d'abord la déformation plastique cumulée.


*   En combinant les équations (), (), () et () avec :math:`F(\sigma ,p)=0` pour **l'écrouissage linéaire** on a :


.. math::
    :label: eq-None

    p=\frac{3KA{\varepsilon}_{\mathrm{v1}}-{\sigma}_{Y}}{9K{\alpha}^{2}+h}


*   En combinant les équations (), (), () et () avec :math:`F(\sigma ,p)=0` pour l **'écrouissage parabolique**  on arrive à l'équation de dégréé 2 :


.. math::
    :label: eq-None

    {A}_{1}{\stackrel{ˉ}{p}}^{2}+{B}_{1}\stackrel{ˉ}{p}+{C}_{1}=0
    \begin{array}{}{A}_{1}={\sigma}_{Y}{(1-\gamma )}^{2}\\ {B}_{1}=9K{\alpha}^{2}{p}_{\mathrm{ult}}-2{\sigma}_{Y}(1-\gamma )\\ {C}_{1}={\sigma}_{Y}-3K\alpha {\varepsilon}_{v1}\\ \gamma =\sqrt{\frac{{\sigma}_{Y}^{\mathrm{ult}}}{{\sigma}_{Y}}}\\ \stackrel{ˉ}{p}=\frac{p}{{p}_{\mathrm{ult}}}\end{array}

On utilise alors les équations () () pour trouver la déformation plastique :math:`{\varepsilon}_{v}^{p}` et la trace des contraintes :math:`{I}_{1}` .

Si on fait décharger le matériau de façon élastique jusqu'à contrainte nulle, on retrouve une déformation résiduelle égale à la déformation plastique ; il faut par contre charger le matériau en compression pour obtenir un déformation totale nulle. Cette deuxième branche est aussi élastique, car le matériau de Drücker-Prager ne peut pas plastifier en état de compression hydrostatique. Dans ce dernier cas, la trace des contraintes, négative, est :


.. math::
    :label: eq-None

    {I}_{1}^{c}=-3K{\varepsilon}_{v}^{p}


Déformation supérieure à la déformation ultime
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

On trouve facilement toutes les quantités d'intérêt, car la trace de contraintes est connue a priori et égale à :math:`{I}_{1}^{\mathrm{ult}}` .

:math:`{\varepsilon}_{v}^{p}={\varepsilon}_{v}-\frac{{I}_{1}^{\mathrm{ult}}}{3K}`

:math:`p=\frac{{\varepsilon}_{v}^{p}}{3\alpha }`


Grandeurs et résultats de référence
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Le module de compressibilité :math:`K` est :

:math:`K=\frac{E}{3(1-2\nu )}=2000\mathrm{MPa}`


Déformation à la limite élastique
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Pour les deux modélisations on trouve facilement :

:math:`{I}_{1}^{\mathrm{el}}=30\mathrm{MPa}`

:math:`{\varepsilon}_{v}^{\mathrm{el}}=0,005`


Déformation ultime
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Pour les deux modélisations on trouve :

:math:`{I}_{1}^{\mathrm{ult}}=50\mathrm{MPa}`

:math:`{\varepsilon}_{v}^{\mathrm{pult}}=0,024`

:math:`{\varepsilon}_{v}^{\mathrm{ult}}\approx 0,03233`


Déformation égale à 0,018 et décharge à déformation nulle
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Cette valeur de déformation :math:`{\varepsilon}_{v1}=0,018` est supérieure à la limite élastique :math:`{\varepsilon}_{v}^{\mathrm{el}}` et inférieure à :math:`{\varepsilon}_{v}^{\mathrm{ult}}` . On calcule d'abord la déformation plastique cumulée avec les équations () et (), puis la déformation plastique et la trace des contraintes :


*   écrouissage linéaire :

:math:`{p}_{1}=\frac{3KA{\varepsilon}_{\mathrm{v1}}-{\sigma}_{Y}}{9K{\alpha}^{2}+h}\approx 0,019`

:math:`{\varepsilon}_{v1}^{p}=3\alpha {p}_{1}=0,0114`

:math:`{I}_{1}^{1}=3K({\varepsilon}_{v1}-{\varepsilon}_{v1}^{p})\approx 39,51\mathrm{MPa}`


*   écrouissage parabolique :

:math:`{p}_{1}\approx 0.0192`

:math:`{\varepsilon}_{v1}^{p}=3\alpha {p}_{1}\approx 0.0115`

:math:`{I}_{1}^{1}=3K({\varepsilon}_{v1}-{\varepsilon}_{v1}^{p})\approx 38.956\mathrm{MPa}`

La trace des contraintes à déformation nulle est :


*   écrouissage linéaire :

:math:`{I}_{1}^{\mathrm{1c}}=-3K{\varepsilon}_{v1}^{p}\approx -68,49\mathrm{MPa}`


*   écrouissage parabolique :

:math:`{I}_{1}^{\mathrm{1c}}=-3K{\varepsilon}_{v1}^{p}\approx -69,044\mathrm{MPa}`

En effet, la différence entre le cas parabolique et linéaire est très faible.


Chargement jusqu'à déformation égale à 0,045 et 0,06
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

On recharge le matériau jusqu'aux valeurs de déformation :math:`{\varepsilon}_{v2}=0,045` et :math:`{\varepsilon}_{v3}=0,06` , supérieures à :math:`{\varepsilon}_{v}^{\mathrm{ult}}` .

Les résultats sont les mêmes pour les deux modélisations.

Pour :math:`{\varepsilon}_{v2}=0,045` :

:math:`{\varepsilon}_{v2}^{p}={\varepsilon}_{v2}-\frac{{I}_{1}^{\mathrm{ult}}}{3K}\approx 0,03667`

:math:`{p}_{2}=\frac{{\varepsilon}_{v2}^{p}}{3\alpha }\approx 0,0611`

Suite à la décharge élastique (jusqu'à contrainte nulle), on retrouve :math:`{\varepsilon}_{v}={\varepsilon}_{v2}^{p}` , :math:`p={p}_{2}` .

Pour :math:`{\varepsilon}_{v3}=0,06` :

:math:`{\varepsilon}_{v3}^{p}={\varepsilon}_{v3}-\frac{{I}_{1}^{\mathrm{ult}}}{3K}\approx 0,051667`

:math:`{p}_{3}=\frac{{\varepsilon}_{v3}^{p}}{3\alpha }\approx 0,0861`


Courbes contrainte-déformation
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Dans les Figures () et () on représente la courbe (:math:`{\varepsilon}_{v},{I}_{1}` ) pour l'écrouissage linéaire et parabolique. En rouge sont les points testés par le cas-test.


.. image:: images/10000000000002A2000001EADCF6892A359ABF61.jpg
    :width: 4.7244in
    :height: 3.4335in


.. _RefImage_10000000000002A2000001EADCF6892A359ABF61.jpg:

**Figure** 2.2.5-a **: courbes contrainte-déformation pour écrouissage linéaire.**


.. image:: images/10000000000002A5000001E28E1C79F903020CD2.jpg
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    :height: 3.6374in


.. _RefImage_10000000000002A5000001E28E1C79F903020CD2.jpg:

**Figure** 2.2.5-b **: courbes contrainte-déformation pour écrouissage parabolique.**


Incertitudes sur la solution
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La solution est analytique.


Références bibliographiques
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1.  Document [:external:ref:`R3.01.16 <R3.01.16>`], Intégration du comportement mécanique élasto-plastique de Drücker-Prager DRUCK_PRAGER et post-traitements. Manuel de référence Code_Aster.