2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul

On se repose sur le résultat de [bib1]. L’état de déformations planes permet d’écrire le champ de déplacement uniforme dans le cube très facilement:

(2.1)\[\begin{split}\lbrace \begin{array}{c}{u}_{1}={a}_{1}.{x}_{1}\\ {u}_{2}=w.{x}_{2}\\ {u}_{3}=0\end{array}\end{split}\]

avec \(w\) le déplacement vertical (négatif) de la face supérieure et \({a}_{1}\) une constante arbitraire.

La condition d’incompressibilité permet d’écrire:

(2.2)\[{a}_{1}=\frac{-w}{1+w}\]

Et on trouve la relation entre la force appliquée \(F\) et le déplacement \(w\) de la face supérieure:

(2.3)\[F=\mathrm{2S.}\frac{w.(2+w).(1+{(1+w)}^{2})}{{(1+w)}^{3}}.(\frac{\partial \Psi }{\partial {J}_{1}}+\frac{\partial \Psi }{\partial {J}_{2}})\]

\(S\) est la surface, \(\Psi\) est le potentiel de déformation et \({J}_{1}\) , \({J}_{2}\) sont les invariants du tenseur de Green-Lagrange. Le potentiel de déformation utilisé par ELAS_HYPER est le suivant:

(2.4)\[\Psi ={C}_{10}.({J}_{1}-3)+{C}_{01}.({J}_{2}-3)+{C}_{20}.{({J}_{1}-3)}^{2}+{\Psi}_{\text{vol}}\]

\({\Psi}_{\text{vol}}\) est le potentiel correspondant à l’incompressibilité. Il dépend des invariants \({J}_{1}\) et \({J}_{2}\) et de \({C}_{10}\) , \({C}_{01}\) et \({C}_{20}\) qui sont les caractéristiques matériaux. Comme de plus \(S=1\) on obtient:

(2.5)\[F=2.\frac{w.(2+w).(1+{(1+w)}^{2})}{{(1+w)}^{3}}.\left[{C}_{10}+{C}_{01}+2.{C}_{20}.\frac{{w}^{2}.{\left(2+w\right)}^{2}}{{\left(1+w\right)}^{2}}\right]\]

La résolution de cette équation non linéaire en \(w\) se fait simplement par dichotomie pour les \(w<0\) .