Solution de référence
=====================


Méthode de calcul
-----------------

On se repose sur le résultat de [:ref:`bib1 <bib1>`]. L’état de déformations planes permet d’écrire le champ de déplacement uniforme dans le cube très facilement:


.. math::
    :label: eq-1

    \lbrace \begin{array}{c}{u}_{1}={a}_{1}.{x}_{1}\\ {u}_{2}=w.{x}_{2}\\ {u}_{3}=0\end{array}

avec :math:`w` le déplacement vertical (négatif) de la face supérieure et :math:`{a}_{1}` une constante arbitraire.

La condition d’incompressibilité permet d’écrire:


.. math::
    :label: eq-2

    {a}_{1}=\frac{-w}{1+w}

Et on trouve la relation entre la force appliquée :math:`F` et le déplacement :math:`w` de la face supérieure:


.. math::
    :label: eq-3

    F=\mathrm{2S.}\frac{w.(2+w).(1+{(1+w)}^{2})}{{(1+w)}^{3}}.(\frac{\partial \Psi }{\partial {J}_{1}}+\frac{\partial \Psi }{\partial {J}_{2}})

:math:`S` est la surface, :math:`\Psi` est le potentiel de déformation et :math:`{J}_{1}` , :math:`{J}_{2}` sont les invariants du tenseur de Green-Lagrange. Le potentiel de déformation utilisé par ELAS_HYPER est le suivant:


.. math::
    :label: eq-4

    \Psi ={C}_{10}.({J}_{1}-3)+{C}_{01}.({J}_{2}-3)+{C}_{20}.{({J}_{1}-3)}^{2}+{\Psi}_{\text{vol}}

:math:`{\Psi}_{\text{vol}}` est le potentiel correspondant à l’incompressibilité. Il dépend des invariants :math:`{J}_{1}` et :math:`{J}_{2}` et de :math:`{C}_{10}` , :math:`{C}_{01}` et :math:`{C}_{20}` qui sont les caractéristiques matériaux. Comme de plus :math:`S=1` on obtient:


.. math::
    :label: eq-5

    F=2.\frac{w.(2+w).(1+{(1+w)}^{2})}{{(1+w)}^{3}}.\left[{C}_{10}+{C}_{01}+2.{C}_{20}.\frac{{w}^{2}.{\left(2+w\right)}^{2}}{{\left(1+w\right)}^{2}}\right]

La résolution de cette équation non linéaire en :math:`w` se fait simplement par dichotomie pour les :math:`w<0` .