1. Présentation du test de Willam#
L’objectif du test proposé par Willam et al. (cf. [Bib 2]) est d’observer la réponse du modèle lorsque le repère propre du chargement tourne. Ce test est purement théorique et il est peu probable que des résultats expérimentaux soient un jour disponibles pour ce test, compte-tenu des difficultés liées à l’étude de la rupture du béton en traction. Son intérêt majeur est de comparer l’influence de la description de l’anisotropie de l’endommagement sur la réponse du matériau par rapport aux modèles isotropes.
Ce test est la succession de deux phases de chargement:
Première phase: traction simple. On impose \(\Delta {\varepsilon}_{xx}\) jusqu’à la non linéarité, c’est-à-dire le début de l’endommagement de traction.
Deuxième phase: en partant de l’état de déformation à la fin de la première phase, on impose deux chargements de traction et un chargement de cisaillement dans le plan de chargement de traction avec les coefficients de proportionnalité suivants:
\((\Delta {\varepsilon}_{xx},\Delta {\varepsilon}_{yy},\Delta {\varepsilon}_{xy})=(0.5,0.75,0.5)\) .
La Figure 1-a nous montre l’évolution des différentes composantes de la contrainte en fonction de la déformation \({\varepsilon}_{xx}\) . On peut distinguer 4 phases dans le comportement:
La phase 1 est la phase élastique sous chargement uniaxial.
La phase 2 correspond à la croissance de l’endommagement dans une direction particulière. La contrainte \({\sigma}_{xx}\) décroît dans la mesure où l’endommagement s’initie tout d’abord selon l’axe \(x\) . La contrainte \({\sigma}_{yy}\) ne croît pas linéairement, ce qui indique que le repère propre de l’endommagement tourne.
La phase 3 débute lorsque l’endommagement est total dans une direction. Le repère propre de l’endommagement est alors bloqué comme on le voit sur la Figure 1-b qui montre l’évolution de l’angle entre le repère propre de l’endommagement et le repère initial (ainsi que l’angle entre le repère propre des déformations et le repère initial). On observe au cours de cette phase 3 un comportement élastique.
La phase 4 débute ensuite lorsque l’endommagement dans la direction orthogonale à la direction bloquée s’initie. On observe alors un adoucissement des contraintes engendré par la croissance de l’endommagement.
Figure 1-a Evolution des contraintes pour le test de Willam
On remarque en outre sur la Figure 1-b que le repère propre de l’endommagement ne tourne pas de la même manière que le repère propre des déformations. Ceci provient du fait que la loi d’évolution de l’endommagement n’est pas écrite en fonction des déformations mais en fonction des forces thermodynamiques, qui dépendent à la fois de l’état de déformation et de l’endommagement. Dans la mesure où le test de Willam est un test théorique, il nous est difficile de porter un jugement précis sur cette prédiction du modèle ENDO_ORTH_BETON.
Figure 1-b Evolution des angles des repères propres des déformations et de l’endommagement par rapport au repère initial
Le comportement obtenu avec notre modèle pour le test de Willam semble caractéristique de ce qu’on peut attendre des modèles anisotropes (cf. [Bib 3]). La différence principale, par rapport aux résultats de Carol [1999], réside dans le blocage du repère propre que l’on observe avec le modèle ENDO_ORTH_BETON lorsque l’endommagement est complet dans une direction, qui n’apparaît pas dans [Bib 3].