2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
2.1.1. Déplacement \(\mathrm{DY}\)#
Le déplacement \(\mathrm{DY}\) de référence au point \(A\) , correspond au déplacement imposé.
2.1.2. Contrainte \(\mathrm{SIXX}\)#
La contrainte \(\mathrm{SIXX}\) correspond au chargement appliqué.
2.1.3. Contrainte \(\mathit{SIYY}`et déformation plastique cumulée :math:`V1\)#
Comparaison avec une solution analytique.
Calcul triaxial en conditions drainées avec une loi de DRUCK_PRAGER ou DRUCK_PRAG_N_A. Le calcul est effectué pour la loi DRUCK_PRAG_N_A (cas le plus général) et la solution peut être étendue au cas DRUCK_PRAGER en prenant \(\beta (p)=\alpha =\mathit{constante}\) .
\({\sigma}_{\mathit{eq}}+\beta (p)\mathit{tr}(\sigma )-R(p)=0\)
On impose \({\sigma}_{xx}={\sigma}_{yy}=-2\mathit{MPa}={\sigma}^{0}\)
\({\sigma}_{\mathrm{eq}}=\sqrt{\frac{3}{2}}{S}_{\mathrm{II}}\)
\(S=\left(\begin{array}{c}{\sigma}_{xx}-\frac{1}{3}\mathit{tr}\sigma \\ {\sigma}_{yy}-\frac{1}{3}\mathit{tr}\sigma \\ {\sigma}_{zz}-\frac{1}{3}\mathit{tr}\sigma \end{array}\right)\) avec \(\mathit{tr}\sigma ={\sigma}_{xx}+{\sigma}_{yy}+{\sigma}_{zz}={\sigma}_{zz}+2{\sigma}^{0}\)
\(S=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}-{\sigma}_{zz}+{\sigma}^{0}\\ -{\sigma}_{zz}+{\sigma}^{0}\\ 2{\sigma}_{zz}-2{\sigma}^{0}\end{array}\right)\)
\({S}_{\mathit{II}}=S.S=\frac{1}{3}\sqrt{2{({\sigma}_{zz}-{\sigma}^{0})}^{2}+{(2{\sigma}_{zz}-2{\sigma}^{0})}^{2}}\)
\({\sigma}_{\mathrm{eq}}=\sqrt{(\frac{3}{2})}{S}_{\mathrm{II}}\)
ce qui nous donne \({\sigma}_{\mathit{eq}}=\left|({\sigma}_{zz}-{\sigma}^{0})\right|={\sigma}^{0}-{\sigma}_{zz}\)
On a donc, en régime plastique: \({\sigma}_{zz}=\frac{1}{\alpha -1}(R(p)-(1+2\alpha {\sigma}^{0}))\) (1)
On a aussi \(\dot{{{\varepsilon}}^{P}}=\lambda \left(\frac{3}{2}\frac{S}{{\sigma}_{\mathit{eq}}}+\beta (p)I\right)=\dot{p}\left(\left(\begin{array}{c}1/2\\ 1/2\\ -1\end{array}\right)+\beta (p)I\right)\)
En notant \(B(p)\) la primitive de \(\beta (p)\) s’annulant en 0, il vient:
\({{\varepsilon}}^{P}=p\left(\begin{array}{c}1/2\\ 1/2\\ -1\end{array}\right)+B(p)I\)
La relation contrainte – déformation donne:
\({{\varepsilon}}_{zz}^{e}=\frac{1}{E}{\sigma}_{zz}-\frac{2\nu }{E}{\sigma}^{0}-\frac{1-2\nu }{E}{\sigma}^{0}\)
En utilisant l’expression de \({\sigma}_{zz}\) , on obtient alors:
\({{\varepsilon}}_{zz}=\frac{1}{E(a-1)}(R(p)-3a{\sigma}^{0})-p+B(p)\) (2)
Les expressions (1) et (2) donnent un paramétrage de la réponse contrainte déformation en fonction de la variable d’écrouissage \(p\) .
On donne ci-dessous les expressions de \(B(p)\) (primitive de \(\beta (p)\) s’annulant en 0), en fonction du type d’écrouissage et de loi de comportement:
DRUCK_PRAGER, pour tout écrouissage:
\(B(p)=\alpha p\)
DRUCK_PRAG_N_A, écrouissage linéaireet parabolique :
\(B(p)=\beta (1-\frac{p}{2{p}_{\mathit{ultm}}})p\)
DRUCK_PRAG_N_A, écrouissage exponentiel :
\(B(p)=\beta {p}_{c}(1-\exp(\frac{-p}{{p}_{c}}))\)
2.2. Grandeurs de référence#
Contrainte \(\mathit{SIZZ}\) au nœud \(A\)
Déformation plastique cumulée \(\mathrm{V1}\) au nœud \(A\)
Déplacement \(\mathrm{DY}\) au nœud \(A\)
2.3. Résultat de référence#
Pour la loi de comportement DRUCK_PRAGER:
Grandeur |
Point |
\(\mathrm{Inst}\) |
Référence, écrouissage linéaire |
Référence, écrouissage parabolique |
\(\mathrm{SIXX}(N/{m}^{2})\) |
A |
\(2.0\) |
\(-2.0\mathrm{E6}\) |
\(-2.0\mathrm{E6}\) |
\(\mathit{SIZZ}(N/{m}^{2})\) |
A |
\(1.07\) |
\(-8.09\mathrm{E6}\) |
\(-8.09\mathrm{E6}\) |
\(1.16\) |
\(-8.20\mathrm{E6}\) |
\(-8.01\mathrm{E6}\) |
||
\(1.34\) |
\(-6.89\mathrm{E6}\) |
\(-6.63\mathrm{E6}\) |
||
\(1.53\) |
\(-5.80\mathrm{E6}\) |
\(-5.81\mathrm{E6}\) |
||
\(\mathrm{V1}\) |
A |
\(1.07\) |
\(0\) |
\(0\) |
\(1.16\) |
\(1.99E-3\) |
\(2.04E-3\) |
||
\(1.34\) |
\(6.35E-3\) |
\(6.42E-3\) |
||
\(1.53\) |
\(1.09E-2\) |
\(1.09E-2\) |
||
\(\mathit{DY}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}(m)\) |
A |
\(1.07\) |
\(-1.05E-3\) |
\(-1.05E-3\) |
\(1.16\) |
\(-2.40E-3\) |
\(-2.40E-3\) |
||
\(1.34\) |
\(-5.10E-3\) |
\(-5.10E-3\) |
||
\(1.53\) |
\(-7.95E-3\) |
\(-7.95E-3\) |
Pour la loi de comportement DRUCK_PRAG_N_A:
2.4. Incertitude sur la solution#
Solution analytique