Solution de référence ===================== Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence -------------------------------------------------------- Déplacement :math:`\mathrm{DY}` ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Le déplacement :math:`\mathrm{DY}` de référence au point :math:`A` , correspond au déplacement imposé. Contrainte :math:`\mathrm{SIXX}` ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ La contrainte :math:`\mathrm{SIXX}` correspond au chargement appliqué. Contrainte :math:`\mathit{SIYY}`et déformation plastique cumulée :math:`V1` ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Comparaison avec une solution analytique. Calcul triaxial en conditions drainées avec une loi de DRUCK_PRAGER ou DRUCK_PRAG_N_A. Le calcul est effectué pour la loi DRUCK_PRAG_N_A (cas le plus général) et la solution peut être étendue au cas DRUCK_PRAGER en prenant :math:`\beta (p)=\alpha =\mathit{constante}` . .. image:: images/Shape4.gif .. _RefSchema_Shape4.gif: :math:`{\sigma}_{\mathit{eq}}+\beta (p)\mathit{tr}(\sigma )-R(p)=0` On impose :math:`{\sigma}_{xx}={\sigma}_{yy}=-2\mathit{MPa}={\sigma}^{0}` :math:`{\sigma}_{\mathrm{eq}}=\sqrt{\frac{3}{2}}{S}_{\mathrm{II}}` :math:`S=\left(\begin{array}{c}{\sigma}_{xx}-\frac{1}{3}\mathit{tr}\sigma \\ {\sigma}_{yy}-\frac{1}{3}\mathit{tr}\sigma \\ {\sigma}_{zz}-\frac{1}{3}\mathit{tr}\sigma \end{array}\right)` avec :math:`\mathit{tr}\sigma ={\sigma}_{xx}+{\sigma}_{yy}+{\sigma}_{zz}={\sigma}_{zz}+2{\sigma}^{0}` :math:`S=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}-{\sigma}_{zz}+{\sigma}^{0}\\ -{\sigma}_{zz}+{\sigma}^{0}\\ 2{\sigma}_{zz}-2{\sigma}^{0}\end{array}\right)` :math:`{S}_{\mathit{II}}=S.S=\frac{1}{3}\sqrt{2{({\sigma}_{zz}-{\sigma}^{0})}^{2}+{(2{\sigma}_{zz}-2{\sigma}^{0})}^{2}}` :math:`{\sigma}_{\mathrm{eq}}=\sqrt{(\frac{3}{2})}{S}_{\mathrm{II}}` ce qui nous donne :math:`{\sigma}_{\mathit{eq}}=\left|({\sigma}_{zz}-{\sigma}^{0})\right|={\sigma}^{0}-{\sigma}_{zz}` On a donc, en régime plastique: :math:`{\sigma}_{zz}=\frac{1}{\alpha -1}(R(p)-(1+2\alpha {\sigma}^{0}))` (1) On a aussi :math:`\dot{{{\varepsilon}}^{P}}=\lambda \left(\frac{3}{2}\frac{S}{{\sigma}_{\mathit{eq}}}+\beta (p)I\right)=\dot{p}\left(\left(\begin{array}{c}1/2\\ 1/2\\ -1\end{array}\right)+\beta (p)I\right)` En notant :math:`B(p)` la primitive de :math:`\beta (p)` s’annulant en 0, il vient: :math:`{{\varepsilon}}^{P}=p\left(\begin{array}{c}1/2\\ 1/2\\ -1\end{array}\right)+B(p)I` La relation contrainte – déformation donne: :math:`{{\varepsilon}}_{zz}^{e}=\frac{1}{E}{\sigma}_{zz}-\frac{2\nu }{E}{\sigma}^{0}-\frac{1-2\nu }{E}{\sigma}^{0}` En utilisant l’expression de :math:`{\sigma}_{zz}` , on obtient alors: :math:`{{\varepsilon}}_{zz}=\frac{1}{E(a-1)}(R(p)-3a{\sigma}^{0})-p+B(p)` (2) Les expressions (1) et (2) donnent un paramétrage de la réponse contrainte déformation en fonction de la variable d’écrouissage :math:`p` . On donne ci-dessous les expressions de :math:`B(p)` (primitive de :math:`\beta (p)` s’annulant en 0), en fonction du type d’écrouissage et de loi de comportement: * DRUCK_PRAGER, pour tout écrouissage: :math:`B(p)=\alpha p` * DRUCK_PRAG_N_A, écrouissage linéaireet parabolique : :math:`B(p)=\beta (1-\frac{p}{2{p}_{\mathit{ultm}}})p` * DRUCK_PRAG_N_A, écrouissage exponentiel : :math:`B(p)=\beta {p}_{c}(1-\exp(\frac{-p}{{p}_{c}}))` Grandeurs de référence ---------------------- * Contrainte :math:`\mathit{SIZZ}` au nœud :math:`A` * Déformation plastique cumulée :math:`\mathrm{V1}` au nœud :math:`A` * Déplacement :math:`\mathrm{DY}` au nœud :math:`A` Résultat de référence ---------------------- Pour la loi de comportement DRUCK_PRAGER: +---------------------------------------------------+-------+-----------------------+---------------------------------+------------------------------------+ | Grandeur | Point | :math:`\mathrm{Inst}` | Référence, écrouissage linéaire | Référence, écrouissage parabolique | +---------------------------------------------------+-------+-----------------------+---------------------------------+------------------------------------+ | :math:`\mathrm{SIXX}(N/{m}^{2})` | A | :math:`2.0` | :math:`-2.0\mathrm{E6}` | :math:`-2.0\mathrm{E6}` | +---------------------------------------------------+-------+-----------------------+---------------------------------+------------------------------------+ | :math:`\mathit{SIZZ}(N/{m}^{2})` | A | :math:`1.07` | :math:`-8.09\mathrm{E6}` | :math:`-8.09\mathrm{E6}` | | | +-----------------------+---------------------------------+------------------------------------+ | | | :math:`1.16` | :math:`-8.20\mathrm{E6}` | :math:`-8.01\mathrm{E6}` | | | +-----------------------+---------------------------------+------------------------------------+ | | | :math:`1.34` | :math:`-6.89\mathrm{E6}` | :math:`-6.63\mathrm{E6}` | | | +-----------------------+---------------------------------+------------------------------------+ | | | :math:`1.53` | :math:`-5.80\mathrm{E6}` | :math:`-5.81\mathrm{E6}` | +---------------------------------------------------+-------+-----------------------+---------------------------------+------------------------------------+ | :math:`\mathrm{V1}` | A | :math:`1.07` | :math:`0` | :math:`0` | | | +-----------------------+---------------------------------+------------------------------------+ | | | :math:`1.16` | :math:`1.99E-3` | :math:`2.04E-3` | | | +-----------------------+---------------------------------+------------------------------------+ | | | :math:`1.34` | :math:`6.35E-3` | :math:`6.42E-3` | | | +-----------------------+---------------------------------+------------------------------------+ | | | :math:`1.53` | :math:`1.09E-2` | :math:`1.09E-2` | +---------------------------------------------------+-------+-----------------------+---------------------------------+------------------------------------+ | :math:`\mathit{DY}\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}(m)` | A | :math:`1.07` | :math:`-1.05E-3` | :math:`-1.05E-3` | | | +-----------------------+---------------------------------+------------------------------------+ | | | :math:`1.16` | :math:`-2.40E-3` | :math:`-2.40E-3` | | | +-----------------------+---------------------------------+------------------------------------+ | | | :math:`1.34` | :math:`-5.10E-3` | :math:`-5.10E-3` | | | +-----------------------+---------------------------------+------------------------------------+ | | | :math:`1.53` | :math:`-7.95E-3` | :math:`-7.95E-3` | +---------------------------------------------------+-------+-----------------------+---------------------------------+------------------------------------+ Pour la loi de comportement DRUCK_PRAG_N_A: +----------------------------------+-------+------------+---------------------------------+------------------------------------+------------------------------------+ | Grandeur | Point | NUME_ORDRE | Référence, écrouissage linéaire | Référence, écrouissage parabolique | Référence, écrouissage exponentiel | +----------------------------------+-------+------------+---------------------------------+------------------------------------+------------------------------------+ | :math:`\mathit{SIZZ}(N/{m}^{2})` | A | 9 | :math:`-8.77.{10}^{6}` | :math:`-8.76.{10}^{6}` | :math:`-8.77.{10}^{6}` | | | +------------+---------------------------------+------------------------------------+------------------------------------+ | | | 34 | :math:`-7.20.{10}^{6}` | :math:`-6.44.{10}^{6}` | :math:`-7.55.{10}^{6}` | | | +------------+---------------------------------+------------------------------------+------------------------------------+ | | | 60 | :math:`-5.86.{10}^{6}` | :math:`-5.80.{10}^{6}` | / | +----------------------------------+-------+------------+---------------------------------+------------------------------------+------------------------------------+ | :math:`\mathrm{V1}` | A | 9 | :math:`4.69.{10}^{-5}` | :math:`5.11.{10}^{-5}` | :math:`4.69.{10}^{-5}` | | | +------------+---------------------------------+------------------------------------+------------------------------------+ | | | 34 | :math:`5.3.{10}^{-3}` | :math:`5.4.{10}^{-3}` | :math:`5.3.{10}^{-3}` | | | +------------+---------------------------------+------------------------------------+------------------------------------+ | | | 60 | :math:`9.8.{10}^{-3}` | :math:`9.8.{10}^{-3}` | / | +----------------------------------+-------+------------+---------------------------------+------------------------------------+------------------------------------+ | :math:`\mathrm{DY}(m)` | A | 9 | :math:`-1.2.{10}^{-3}` | :math:`-1.2.{10}^{-3}` | :math:`-1.2.{10}^{-3}` | | | +------------+---------------------------------+------------------------------------+------------------------------------+ | | | 34 | :math:`-4.9.{10}^{-3}` | :math:`-4.9.{10}^{-3}` | :math:`-4.9.{10}^{-3}` | | | +------------+---------------------------------+------------------------------------+------------------------------------+ | | | 60 | :math:`-8.8.{10}^{-3}` | :math:`-8.8.{10}^{-3}` | / | +----------------------------------+-------+------------+---------------------------------+------------------------------------+------------------------------------+ Incertitude sur la solution --------------------------- Solution analytique *