2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Pour une fissure axisymétrique dans un cylindre de longueur infinie, la méthode des Équations Intégrales Singulières et des Développements Asymptotiques [bib1] permet de calculer les valeurs des facteurs d’intensité de contraintes.

  1. Cas 1: Traction et Torsion

La traction induit une ouverture en mode 1. \(\mathrm{K1}\) est donné par la formule suivante:

\({K}_{I}=\frac{P}{\pi {a}^{2}}\sqrt{\pi a}{F}_{1}(a/b)\)

où :math:`P`est l’effort appliquée sur les face supérieure et inférieure et :math:`{F}_{1}`une fonction donnée [:ref:`Figure 2.1-a <Figure 2.1-a>`].

La torsion induit une ouverture en mode 3. :math:`\mathrm{K3}`est donné par la formule suivante:

\({K}_{\mathrm{III}}=\frac{\mathrm{2T}}{\pi {a}^{3}}\sqrt{\pi a}{F}_{3}(a/b)\)

où T est le moment appliqué sur les face supérieure et inférieure et :math:`{F}_{3}`une fonction donnée [:ref:`Figure2.1‑a <Figure2.1‑a>`].

  1. Cas 2: Flexion sans contact

La flexion induit une ouverture en mode \(1\) . La valeur de \(\mathrm{K1}\) au point d’ouverture maximale \(A\) est donnée par la formule suivante:

\({K}_{{I}_{A}}=\frac{\mathrm{4M}}{\pi {a}^{3}}\sqrt{\pi a}{F}_{2}(a/b)\)

où :math:`M`est le moment appliqué sur les face supérieure et inférieure et :math:`{F}_{2}`une fonction donnée [:ref:`Figure2.1‑a <Figure2.1‑a>`].

  1. Cas 3: Flexion avec contact

Il n’existe pas de solution analytique à ce problème. On s’attend d’une part à ce que \(\mathrm{K1}\) soit proche du cas sans contact sur la partie de la fissure en ouverture, et d’autre part que \(\mathrm{K1}\) soit nul sur la partie de la fissure en fermeture.

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Figure 2.1-a: Fonctions \(\mathrm{F1}\) , \(\mathrm{F2}\) et \(\mathrm{F3}\)

Ces trois fonctions proviennent de [bib1].

2.2. Résultats de référence#

Application Numérique:

Sauf mention contraire, dans la suite de ce document, les paramètres retenus pour \(a\) et \(b\) sont:

\(a=0.4m\)

\(b=0.5m\)

Cas 1: Traction et torsion

Cas 2: Flexion

\(\mathrm{K1}=5.35{\mathrm{MPa.m}}^{1/2}\) \(\mathrm{K3}=11.22{\mathrm{MPa.m}}^{1/2}\)

\({\mathrm{K1}}_{A}=11.71{\mathrm{MPa.m}}^{1/2}\)

Tableau 2.2-1: Valeurs de référence

2.3. Références bibliographiques#

  • TADA, PARIS, IRWIN: The Stress Analysis Of Cracks Handbook, Del Research Corporation, Hellertoxn, Pennsylvania (1973).

  • Calcul des facteurs d’intensité des contraintes par extrapolation du champ de déplacements, Manuel de référence du Code_Aster , R7.02.08

  • CORNELIU: Quarter-point elements for curved crack fronts, Computers & Structures Vol. 17, No. 2, pp. 227-231, 1983