Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Pour une fissure axisymétrique dans un cylindre de longueur infinie, la méthode des Équations Intégrales Singulières et des Développements Asymptotiques [:ref:`bib1 <bib1>`] permet de calculer les valeurs des facteurs d’intensité de contraintes.


1.  Cas 1: Traction et Torsion

La traction induit une ouverture en mode 1. :math:`\mathrm{K1}` est donné par la formule suivante:

:math:`{K}_{I}=\frac{P}{\pi {a}^{2}}\sqrt{\pi a}{F}_{1}(a/b)`

.. code-block:: text

    où :math:`P`est l’effort appliquée sur les face supérieure et inférieure et :math:`{F}_{1}`une fonction donnée [:ref:`Figure 2.1-a <Figure 2.1-a>`].


.. code-block:: text

    La torsion induit une ouverture en mode 3. :math:`\mathrm{K3}`est donné par la formule suivante:

:math:`{K}_{\mathrm{III}}=\frac{\mathrm{2T}}{\pi {a}^{3}}\sqrt{\pi a}{F}_{3}(a/b)`

.. code-block:: text

    où T est le moment appliqué sur les face supérieure et inférieure et :math:`{F}_{3}`une fonction donnée [:ref:`Figure2.1‑a <Figure2.1‑a>`].


1.  Cas 2: Flexion sans contact

La flexion induit une ouverture en mode :math:`1` . La valeur de :math:`\mathrm{K1}` au point d’ouverture maximale :math:`A` est donnée par la formule suivante:

:math:`{K}_{{I}_{A}}=\frac{\mathrm{4M}}{\pi {a}^{3}}\sqrt{\pi a}{F}_{2}(a/b)`

.. code-block:: text

    où :math:`M`est le moment appliqué sur les face supérieure et inférieure et :math:`{F}_{2}`une fonction donnée [:ref:`Figure2.1‑a <Figure2.1‑a>`].


1.  Cas 3: Flexion avec contact

Il n’existe pas de solution analytique à ce problème. On s’attend d’une part à ce que :math:`\mathrm{K1}` soit proche du cas sans contact sur la partie de la fissure en ouverture, et d’autre part que :math:`\mathrm{K1}` soit nul sur la partie de la fissure en fermeture.


.. image:: images/100000000000040000000300F8F4D0D03F8E367A.png
    :width: 5.6535in
    :height: 3.1575in


.. _RefImage_100000000000040000000300F8F4D0D03F8E367A.png:


.. _Ref59871376:

Figure 2.1-a: Fonctions :math:`\mathrm{F1}` , :math:`\mathrm{F2}` et :math:`\mathrm{F3}`

Ces trois fonctions proviennent de [:ref:`bib1 <bib1>`].


Résultats de référence
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Application Numérique:

Sauf mention contraire, dans la suite de ce document, les paramètres retenus pour :math:`a` et :math:`b` sont:

:math:`a=0.4m`

:math:`b=0.5m`


.. csv-table::

    "Cas 1: Traction et torsion", "Cas 2: Flexion"
    ":math:`\mathrm{K1}=5.35{\mathrm{MPa.m}}^{1/2}`
    :math:`\mathrm{K3}=11.22{\mathrm{MPa.m}}^{1/2}`", ":math:`{\mathrm{K1}}_{A}=11.71{\mathrm{MPa.m}}^{1/2}`"


Tableau 2.2-1: Valeurs de référence


Références bibliographiques
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*   TADA, PARIS, IRWIN: The Stress Analysis Of Cracks Handbook, Del Research Corporation, Hellertoxn, Pennsylvania (1973).


*   Calcul des facteurs d’intensité des contraintes par extrapolation du champ de déplacements, Manuel de référence du *Code_Aster* , R7.02.08


*   CORNELIU: Quarter-point elements for curved crack fronts, Computers & Structures Vol. 17, No. 2, pp. 227-231, 1983