1. Problème de référence#

1.1. Géométrie#

La fissure est circulaire (penny shaped crack) de rayon \(a=0,2m\) dans le plan \(\mathit{OXY}\) . Le coté du cube est de longueur \(L=2m=10a\) . Ainsi, on considère que la fissure se trouve dans un milieu infini.

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Figure 1.1-1 : géométrie du cube fissuré 2

1.2. Propriétés de matériaux#

On considère un matériau homogène isotrope élastique linéaire dont les caractéristiques sont les suivantes:

  • module d’Young \(E=200000\mathit{MPa}\) ,

  • coefficient de Poisson \(\nu =0,3\) .

1.3. Conditions aux limites et chargements#

Compte tenu des symétries de la structure, de la fissure et des chargements, seule la moitié de la structure est modélisée: demi-espace tel que \(Y>0\) . Des conditions de symétrie sont donc appliquées sur la face en \(Y=0\) : sur cette face, le déplacement suivant \(Y\) est bloqué.

La structure est soumise à une contrainte \({\sigma}_{xx}=1\mathit{MPa}\) . Le repère local \((x,y,z)\) est obtenu par rotation d’un angle \(\alpha =\pi /4\) autour de l’axe \(\mathit{OY}\) .

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Figure 1.3-1 : Contraintes dans le repère global

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Figure 1.3-2 : Repère local

Ainsi, nous avons:

sur la face supérieure:

  • \({\sigma}_{\mathit{ZZ}}=\sigma {\sin}^{2}(\alpha )\)

  • \({\sigma}_{\mathit{ZX}}=\sigma \cos(\alpha )\sin(\alpha )\)

sur la face inférieure:

  • \({\sigma}_{\mathit{ZZ}}=-\sigma {\sin}^{2}(\alpha )\)

  • \({\sigma}_{\mathit{ZX}}=-\sigma \sin(\alpha )\cos(\alpha )\)

sur la face latérale de droite:

  • \({\sigma}_{\mathit{XX}}=\sigma {\cos}^{2}(\alpha )\)

  • \({\sigma}_{\mathit{XZ}}=\sigma \cos(\alpha )\sin(\alpha )\)

sur la face latérale de gauche:

  • \({\sigma}_{\mathit{XX}}=-\sigma {\cos}^{2}(\alpha )\)

  • \({\sigma}_{\mathit{XZ}}=-\sigma \cos(\alpha )\sin(\alpha )\)

Afin de bloquer les modes de corps rigides, le point \(\mathit{D1}\) \((L/2,0,0)\) est bloqué suivant \(X\) et \(Z\) et le point \(\mathit{D2}\) \((-L/2,0,0)\) est bloqué suivant \(Z\) .

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Figure 1.3-3 : Blocage des modes rigides