Problème de référence
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Géométrie
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La fissure est circulaire (penny shaped crack) de rayon :math:`a=0,2m` dans le plan :math:`\mathit{OXY}` . Le coté du cube est de longueur :math:`L=2m=10a` . Ainsi, on considère que la fissure se trouve dans un milieu infini.


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**Figure** 1.1-1 **: géométrie** du cube fissuré
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Propriétés de matériaux
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On considère un matériau homogène isotrope élastique linéaire dont les caractéristiques sont les suivantes:


*   module d’Young :math:`E=200000\mathit{MPa}` ,


*   coefficient de Poisson :math:`\nu =0,3` .


Conditions aux limites et chargements
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Compte tenu des symétries de la structure, de la fissure et des chargements, seule la moitié de la structure est modélisée: demi-espace tel que :math:`Y>0` . Des conditions de symétrie sont donc appliquées sur la face en :math:`Y=0` : sur cette face, le déplacement suivant :math:`Y` est bloqué.

La structure est soumise à une contrainte :math:`{\sigma}_{xx}=1\mathit{MPa}` . Le repère local :math:`(x,y,z)` est obtenu par rotation d'un angle :math:`\alpha =\pi /4` autour de l'axe :math:`\mathit{OY}` .


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**Figure** 1.3-1 **: Contraintes dans le repère global**


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**Figure** 1.3-2 **: Repère local**

Ainsi, nous avons:

sur la face supérieure:


*   :math:`{\sigma}_{\mathit{ZZ}}=\sigma {\sin}^{2}(\alpha )`


*   :math:`{\sigma}_{\mathit{ZX}}=\sigma \cos(\alpha )\sin(\alpha )`

sur la face inférieure:


*   :math:`{\sigma}_{\mathit{ZZ}}=-\sigma {\sin}^{2}(\alpha )`


*   :math:`{\sigma}_{\mathit{ZX}}=-\sigma \sin(\alpha )\cos(\alpha )`

sur la face latérale de droite:


*   :math:`{\sigma}_{\mathit{XX}}=\sigma {\cos}^{2}(\alpha )`


*   :math:`{\sigma}_{\mathit{XZ}}=\sigma \cos(\alpha )\sin(\alpha )`

sur la face latérale de gauche:


*   :math:`{\sigma}_{\mathit{XX}}=-\sigma {\cos}^{2}(\alpha )`


*   :math:`{\sigma}_{\mathit{XZ}}=-\sigma \cos(\alpha )\sin(\alpha )`

Afin de bloquer les modes de corps rigides, le point :math:`\mathit{D1}` :math:`(L/2,0,0)` est bloqué suivant :math:`X` et :math:`Z` et le point :math:`\mathit{D2}` :math:`(-L/2,0,0)` est bloqué suivant :math:`Z` .


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**Figure** 1.3-3 **: Blocage des modes rigides**