2. Solutions de référence#
2.1. Méthode de calcul#
En traction simple et avec l’hypothèse des petites déformations, la contrainte de traction
ainsi que le multiplicateur plastique
à l’instant
sont donnés dans le cas considéré par:
si
: \(\sigma (u)=E\frac{l(u)-{L}_{0}}{{L}_{0}}\) , \(\dot{p}(u)=0\) , \(l({t}_{1}^{p})={L}_{0}(1+\frac{{\sigma}_{Y}(-50°C)}{E})\)
si
: \(\sigma (u)={E}_{t}\frac{l(u)-{L}_{0}}{{L}_{0}}+\frac{E-{E}_{t}}{E}{\sigma}_{Y}(-50°C)\) , \(\dot{p}(u)=(1-\frac{{E}_{t}}{E})\frac{\dot{l}(u)}{{L}_{0}}\)
si
: \(\sigma (u)=\sigma (u=10)-E\frac{l(u=10)-l(u)}{{L}_{0}}\) , \(\dot{p}(u)=0\)
si
: \(\sigma (u)=\sigma (u=20)\) , \(\dot{p}(u)=0\)
si
: \(\sigma (u)=\sigma (u=20)+{E}_{t}\frac{l(u)-l(u=20)}{{L}_{0}}\) , \(\dot{p}(u)=(1-\frac{{E}_{t}}{E})\frac{\dot{l}(u)}{{L}_{0}}\)
2.2. Weibull#
La probabilité de rupture cumulée
à l’instant
est donnée par (cf. POST_ELEM et POST_BEREMIN ) :
\({P}_{f}(t)=1-\exp(-\sum_{\mathit{dV}}{[\begin{array}{c}max\\ {t}^{p}\le u\le t\end{array}(\frac{{\sigma}_{I}(u)}{{\sigma}_{u}(\theta (u))})]}^{m}\frac{\mathit{dV}}{{V}_{0}})\) .
La sommation porte sur les volumes de matière
plastifiés (à partir de l’instant
),
et
désignant la contrainte principale maximale et la température dans chacun de ces volumes aux différents instants
. Ici, le volume
de référence est égal à \(50\mu {m}^{3}\) . Le module de Weibull
est égal à 24 tandis que la contrainte de clivage
dépend de la température selon:
Température \([°C]\) |
–50 |
–100 |
–150 |
\({\sigma}_{u}[\mathit{MPa}]\) |
2800 |
2700 |
2600 |
La probabilité de rupture cumulée varie en fonction de (
) selon:
\({P}_{f}(t)=1-\exp(-{[\begin{array}{c}max\\ {t}^{p}\le u\le t\end{array}(\frac{\sigma (u)}{{\sigma}_{u}(\theta (u))})]}^{m}\frac{V}{{V}_{0}})\) .
2.3. Rice et Tracey#
En traction simple, le logarithme népérien du taux de croissance des cavités à l’instant
est donnée par (cf. POST_ELEM) :
\(\log(\frac{R(t)}{{R}_{0}})=0.283\times \exp(0.5)\times \underset{0}{\overset{t}{\int}}\dot{p}(u)\mathit{du}\)
2.4. Grandeurs et résultats de référence#
et
pour les couples (température, déplacements = \((l-{l}_{0})\) ) suivants: \((–50,0°C,20,35\mathit{mm})\) ;
\((–50,0°C,20,30\mathit{mm})\) ; \((–150,0°C,20,30\mathit{mm})\) et \((–150,0°C,32,53\mathit{mm})\) .
2.5. Incertitudes sur la solution#
Solution analytique.