Solutions de référence
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Méthode de calcul
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En traction simple et avec l’hypothèse des petites déformations, la contrainte de traction

.. image:: images/Object_4.svg
    :width: 36
    :height: 21


.. _RefImage_Object_4.svg:

ainsi que le multiplicateur plastique

.. image:: images/Object_5.svg
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    :height: 21


.. _RefImage_Object_5.svg:

à l’instant

.. image:: images/Object_6.svg
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.. _RefImage_Object_6.svg:

sont donnés dans le cas considéré par:


*   si

    .. image:: images/Object_7.svg
        :width: 36
        :height: 21


    .. _RefImage_Object_7.svg:

: :math:`\sigma (u)=E\frac{l(u)-{L}_{0}}{{L}_{0}}` , :math:`\dot{p}(u)=0` , :math:`l({t}_{1}^{p})={L}_{0}(1+\frac{{\sigma}_{Y}(-50°C)}{E})`


*   si

    .. image:: images/Object_9.svg
        :width: 36
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    .. _RefImage_Object_9.svg:

: :math:`\sigma (u)={E}_{t}\frac{l(u)-{L}_{0}}{{L}_{0}}+\frac{E-{E}_{t}}{E}{\sigma}_{Y}(-50°C)` , :math:`\dot{p}(u)=(1-\frac{{E}_{t}}{E})\frac{\dot{l}(u)}{{L}_{0}}`


*   si

    .. image:: images/Object_11.svg
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    .. _RefImage_Object_11.svg:

: :math:`\sigma (u)=\sigma (u=10)-E\frac{l(u=10)-l(u)}{{L}_{0}}` , :math:`\dot{p}(u)=0`


*   si

    .. image:: images/Object_13.svg
        :width: 36
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    .. _RefImage_Object_13.svg:

: :math:`\sigma (u)=\sigma (u=20)` , :math:`\dot{p}(u)=0`


*   si

    .. image:: images/Object_15.svg
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        :height: 21


    .. _RefImage_Object_15.svg:

: :math:`\sigma (u)=\sigma (u=20)+{E}_{t}\frac{l(u)-l(u=20)}{{L}_{0}}` , :math:`\dot{p}(u)=(1-\frac{{E}_{t}}{E})\frac{\dot{l}(u)}{{L}_{0}}`


Weibull
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La probabilité de rupture cumulée

.. image:: images/Object_17.svg
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.. _RefImage_Object_17.svg:

à l’instant

.. image:: images/Object_18.svg
    :width: 36
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.. _RefImage_Object_18.svg:

est donnée par (cf. POST_ELEM et POST_BEREMIN ) :

:math:`{P}_{f}(t)=1-\exp(-\sum_{\mathit{dV}}{[\begin{array}{c}max\\ {t}^{p}\le u\le t\end{array}(\frac{{\sigma}_{I}(u)}{{\sigma}_{u}(\theta (u))})]}^{m}\frac{\mathit{dV}}{{V}_{0}})` .

La sommation porte sur les volumes de matière

.. image:: images/Object_20.svg
    :width: 36
    :height: 21


.. _RefImage_Object_20.svg:

plastifiés (à partir de l’instant

.. image:: images/Object_21.svg
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    :height: 21


.. _RefImage_Object_21.svg:

),

.. image:: images/Object_22.svg
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.. _RefImage_Object_22.svg:

et

.. image:: images/Object_23.svg
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.. _RefImage_Object_23.svg:

désignant la contrainte principale maximale et la température dans chacun de ces volumes aux différents instants

.. image:: images/Object_24.svg
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.. _RefImage_Object_24.svg:

. Ici, le volume

.. image:: images/Object_25.svg
    :width: 36
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.. _RefImage_Object_25.svg:

de référence est égal à :math:`50\mu {m}^{3}` . Le module de Weibull

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.. _RefImage_Object_26.svg:

est égal à 24 tandis que la contrainte de clivage

.. image:: images/Object_27.svg
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.. _RefImage_Object_27.svg:

dépend de la température selon:


.. csv-table::

    "**Température** :math:`[°C]`", "**–50**", "**–100**", "**–150**"
    ":math:`{\sigma}_{u}[\mathit{MPa}]`", "2800", "2700", "2600"


La probabilité de rupture cumulée varie en fonction de (

.. image:: images/Object_28.svg
    :width: 36
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.. _RefImage_Object_28.svg:

) selon:

:math:`{P}_{f}(t)=1-\exp(-{[\begin{array}{c}max\\ {t}^{p}\le u\le t\end{array}(\frac{\sigma (u)}{{\sigma}_{u}(\theta (u))})]}^{m}\frac{V}{{V}_{0}})` .


Rice et Tracey
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En traction simple, le logarithme népérien du taux de croissance des cavités à l’instant

.. image:: images/Object_30.svg
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.. _RefImage_Object_30.svg:

est donnée par (cf. POST_ELEM) :

:math:`\log(\frac{R(t)}{{R}_{0}})=0.283\times \exp(0.5)\times \underset{0}{\overset{t}{\int}}\dot{p}(u)\mathit{du}`


Grandeurs et résultats de référence
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.. _RefImage_Object_32.svg:

et

.. image:: images/Object_33.svg
    :width: 36
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.. _RefImage_Object_33.svg:

pour les couples (température, déplacements = :math:`(l-{l}_{0})` ) suivants: :math:`(–50,0°C,20,35\mathit{mm})` ;

:math:`(–50,0°C,20,30\mathit{mm})` ; :math:`(–150,0°C,20,30\mathit{mm})`  et :math:`(–150,0°C,32,53\mathit{mm})` .


Incertitudes sur la solution
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Solution analytique.