1. Problème de référence#

Le test est le cas-test LA6 d’un benchmark du projet européen Brite EuRam BE97-4547 «LISA» étudié par trois organismes:

  • EDF (ancienne méthode Norton-Hoff avec trois valeurs du paramètre de régularisation: le coefficient Norton-Hoff \(n\) );

  • LTAS à Liège (méthode cinématique régularisée du logiciel universitaire dédié « ELSA »);

  • ForschungZentrum de Jülich (méthode statique approchée par éléments finis en déplacements, représentation réduite des champs d’auto-contraintes et algorithme d’optimisation du code Permas ).

On considère un réservoir axisymétrique à fond torisphérique soumise à une pression interne.

Le même maillage est utilisé par les trois organismes participants. Il contient deux éléments Q8 dans l’épaisseur, et en tout il y a 34 éléments, et 141 nœuds. Le matériau constitutif est homogène et vérifie le critère de von Mises avec pour seuil la limite d’élasticité (\({\sigma}_{y}\) ) de \(100\mathrm{MPa}\) .

Résultats EDF LISA: maillage initial et déformée obtenue pour le coefficient Norton-Hoff n =31

Le calcul de la charge limite par la méthode Norton-Hoff-Friaâ est détaillé dans le document de référence [R7.07.01].

Rappelons brièvement que l’on vise à chercher la charge limite \({\lambda}_{\lim}\) , pour laquelle la structure, constituée d’un matériau du type élastoplastique parfait à seuil de von Mises, peut supporter les chargements surfaciques \({\lambda}_{\lim}F\) et les chargements de volume \({\lambda}_{\lim}f\) auxquels on peut éventuellement ajouter des chargements constants (\({F}_{0}\) et \({f}_{0}\) ). Code_aster permet de calculer, pour chaque instant du calcul, c’est-à-dire pour des régularisations de plus en plus faibles, deux paramètres:

  • Une estimation d’une borne supérieure de la charge limite:

(1.1)#\[{\widehat{\lambda}}_{m}=\underset{\Omega}{\int}{\sigma}_{y}\sqrt{\frac{2}{3}\epsilon ({u}_{m})\cdot \epsilon ({u}_{m})}d\Omega -{L}_{0}({u}_{m})\]

  • et, en l’absence de chargement constant, une estimation d’une borne inférieure \({\underline{\lambda}}_{m}\) :

(1.2)#\[{\underline{\lambda}}_{m}=\underset{\Omega}{\int}\frac{A(m)}{m}\cdot {(\sqrt{\varepsilon ({u}_{m})\cdot \varepsilon ({u}_{m})})}^{m}d\Omega \cdot {(\underset{x\in \Omega }{\text{Sup}}(\sqrt{\frac{\frac{3}{2}{\sigma}^{D}({u}_{m})\cdot {\sigma}^{D}({u}_{m})}{{\sigma}_{y}}}))}^{-1}\le {\stackrel{ˆ}{\lambda}}_{m}\]

Si un chargement constant est présent, on a la puissance du chargement constant dans le champ de vitesse solution du problème.

On constate que le tenseur déviatorique des contraintes vérifie la relation de comportement de Norton-Hoff:

(1.3)#\[{\sigma}^{D}(u)=A(m).{(\sqrt{{\epsilon}^{D}(u).{\epsilon}^{D}(u)})}^{m-2}.{\epsilon}^{D}(u)\]

avec \(\text{tr}\varepsilon (u)=0\) , et \(A(m)={k}^{1-m}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{m/2}{{\sigma}_{y}}^{m}\) .

1.1. Données pour la modélisation#

Géométrie

Le réservoir axisymétrique à fond torisphérique a les caractéristiques suivantes: * rayon interne de la partie cylindrique: \(49\mathrm{mm}\) ; * épaisseur: \(2\mathrm{mm}\) ; * rayon de la partie sphérique à l’apex: \(98\mathrm{mm}\) ; * rayon du tore de raccordement: \(20\mathrm{mm}\) .

Propriétés de matériau

Limite d’élasticité : \({\sigma}_{y}=100\mathrm{MPa}\)

Conditions aux limites

Déplacement axial \(\mathrm{DY}\) nul sur l’extrémité \({\mathrm{BORD}}_{\mathrm{INF}}\) de la partie cylindrique (conditions de symétrie)

Chargements

Pression interne de \(1\mathrm{MPa}\) appliquée sur la paroi interne \({B}_{D}\)

1.2. Résultats de référence#

Pour ce cas test, on ne dispose pas de résultats analytiques mais uniquement des valeurs numériques issues des calculs réalisés dans le cadre du benchmark LISA et rappelées Tableau 1.2-1 .

Tableau 1.2-1: Résultats du benchmark LISA