2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Lors d’une phase de vol libre, l’équation du mouvement s’écrit \(m\ddot{x}+{k}_{\mathrm{rappel}}x={F}_{\mathrm{ext}}(t)\) . Compte tenu de la forme sinusoïdale de \({F}_{\mathrm{ext}}(t)\) , cette équation admet une solution analytique. On peut calculer numériquement, avec une précision aussi grande que l’on veut, l’instant \({t}_{in}\) d’entrée dans le contact, vérifiant \(x({t}_{in})={\mathrm{jeu}}_{\mathrm{choc}}\) .

On est alors dans une phase de contact, dont l’équation est \(m\ddot{x}+{c}_{\mathrm{choc}}\dot{x}+({k}_{\mathrm{rappel}}+{k}_{\mathrm{choc}})x={F}_{\mathrm{ext}}(t)\) . Il existe là aussi une solution analytique. Avec les conditions aux limites issues de l’instant de contact, on peut calculer numériquement l’instant \({t}_{\text{out}}\) de sortie du contact.

En procédant ainsi itérativement, on obtient la solution complète du problème.

Remarque : on ne donne pas ici les formules analytiques. Les fichiers contenant les formules et permettant de calculer la solution complète sont joints avec le fichier de commande.

2.2. Résultats de référence

On teste le bilan énergétique, l’adéquation entre les forces de contact et la cinématique, ainsi que la cinématique.

Pour le bilan énergétique, on calcule les énergies cinétique \({E}_{i}^{\mathrm{cin}}=\frac{1}{2}m\dot{x}{}_{i}^{2}\) , potentielle \({E}_{i}^{\mathit{pot}}=\frac{1}{2}{k}_{\mathit{rappel}}{x}_{i}^{2}\) , de choc \({E}_{i}^{\mathit{choc}}=\frac{1}{2}{k}_{\mathit{choc}}{p}_{i}^{2}\) (\(p\) est la pénétration ; cette expression n’est valable que si il n’y a pas d’amortissement de choc), injectée par la force extérieure \({E}_{i}^{\mathrm{inj}}=\sum_{j=1}^{i}{f}_{j}^{\mathrm{ext}}\dot{x}{}_{j+\delta \frac{1}{2}}\Delta t\) (avec \(\delta =1\) pour le schéma d’Euler, \(\delta =0\) pour le schéma des différences centrées). On obtient l’énergie totale \({E}_{i}^{\mathit{tot}}={E}_{i}^{\mathit{cin}}+{E}_{i}^{\mathit{pot}}+{E}_{i}^{\mathit{choc}}\) . On calcule enfin l’erreur globale sur le bilan énergétique par \({\mathit{erreur}}_{\mathit{globale}}^{\mathit{énergie}}=\sqrt{\frac{\sum_{i}{({E}_{i}^{\mathit{tot}}-{E}_{i}^{\mathit{inj}})}^{2}}{\sum_{i}{({E}_{i}^{\mathit{inj}})}^{2}}}\) , qui vaut idéalement 0.

Pour l’adéquation entre les forces de contact et la cinématique, on calcule la grandeur \({\mathit{erreur}}_{\mathit{globale}}^{\mathit{force}}=\sqrt{\frac{\sum_{i}{({F}_{i}^{\mathit{choc}}-{k}_{\mathit{choc}}{p}_{i})}^{2}}{\sum_{i}{({k}_{\mathit{choc}}{p}_{i})}^{2}}}\) , qui vaut idéalement 0.

Pour la cinématique, on compare les instants calculés d’entrée et sortie de contact, aux instants analytiques.

2.3. Incertitude sur la solution

La solution est analytique par morceaux. Les instants d’entrée et sortie de contact sont déterminés numériquement à \({10}^{-9}s\) près.