2. Solutions de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour les solutions de référence#

2.1.1. Modélisation A#

Cette modélisation compare un système de discrets (raideurs et amortisseur linéaire, donc \({\alpha}_{3}=1\) ) assemblés en série et en parallèle à un discret affecté de la loi de comportement DIS_VISC. Cette comparaison est réalisée en dynamique transitoire linéaire en simulant un essai de lâcher.

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Les équations du système différentiel, qui est d’ordre 3, décrivant la solution analytique sont:

\(\lbrace \begin{array}{c}{F}_{1}=m\ddot{{U}_{1}}\\ {\dot{F}}_{1}.\left(\frac{1}{{E}_{1}}+\frac{1}{{E}_{3}}+\frac{{E}_{2}}{{E}_{1}.{E}_{3}}\right)=\left({\dot{U}}_{2}-{\dot{U}}_{1}\right)\left(1+\frac{{E}_{2}}{{E}_{3}}\right)-\frac{1}{{C}_{3}}.\left({F}_{1}.\left(1+\frac{{E}_{2}}{{E}_{1}}\right)-{E}_{2}.\left({U}_{2}-{U}_{1}\right)\right)\end{array}\) [éq2.1.1-1]

Les conditions initiales sont, avec \({U}_{0}=0,1m\) :

\({\ddot{U}}_{1}(t=0)=0\) \({\dot{U}}_{1}(t=0)=0\) \({U}_{1}(t=0)=0\) \({U}_{2}(t)={U}_{0}.H(t)\mathit{avec}H\mathit{la}\mathit{fonction}\mathit{de}\mathit{Heaviside}\)

L’intégration numérique de ce système différentiel, est obtenue avec la technique des transformées de Laplace:

\({U}_{1}(t)={A}_{s}\exp(-{\lambda}_{\mathit{sc}}t)\sin({\omega}_{t}t)-{A}_{c}\exp(-{\lambda}_{\mathit{sc}}t)\cos({\omega}_{t}t)+{A}_{e}\exp(-{\lambda}_{e}t)+\frac{1}{10}\) [éq2.1.1-2]

\({F}_{1}(t)=-{B}_{s}\exp(-{\lambda}_{\mathit{sc}}t)\sin({\omega}_{t}t)+{B}_{c}\exp(-{\lambda}_{\mathit{sc}}t)\cos({\omega}_{t}t)+{B}_{e}\exp(-{\lambda}_{e}t)\) [éq2.1.1-3]

Avec

\(\begin{array}{ccc}{\omega}_{t}=\frac{14593}{4792}{s}^{-1}& & \\ {A}_{s}=\frac{5516}{214807}& {\lambda}_{\mathit{sc}}=\frac{1573}{2072}{s}^{-1}& {B}_{s}=\frac{5625}{7831}\\ {A}_{c}=\frac{3137}{29305}& & {B}_{c}=\frac{9170}{11289}\\ {A}_{e}=\frac{413}{58610}& {\lambda}_{e}=\frac{38132}{1685}{s}^{-1}& {B}_{e}=\frac{12692}{3517}\end{array}\)

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Figure 2.1.1-a : Évolution de l’effort en fonction du temps, modélisation A.

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Figure 2.1.1-b : Évolution de l’effort en fonction du déplacement \({U}_{1}\) , modélisation A.

2.1.2. Modélisations B, C, D, E#

Les équations régissant le comportement sont des équations différentielles non linéaires. Pour valider la réponse obtenue avec Code_Aster une intégration par une méthode de Runge-Kutta est réalisée avec un outil externe à Code_Aster .

Les comparaisons sont réalisées sur le déplacement et sur l’effort.

2.2. Incertitude sur la solution#

2.2.1. Modélisation A#

Pour la réponse en effort, déplacement:

La solution de référence est obtenue par intégration numérique d’un système différentiel, avec la technique des transformées de Laplace. Il n’y a aucune incertitude, la solution est analytique.

2.2.2. Modélisations B, C, D, E#

Pour la réponse en effort, déplacement:

La solution de référence est obtenue par intégration numérique d’un système différentiel.