2. Solution de référence#
La solution de référence, qui est analytique, est calculée de la manière suivante.
Soit
l’abscisse de la masse dans le repère fixe et
l’abscisse du support vibrant dans ce même repère.
Initialement, on suppose que la masse est adhérente sur son support. Elle le reste alors un certain temps après l’instant initial
. Elle subit de ce fait l’accélération imposée par le support rigide, soit
. La force tangentielle exercée par la masse sur le support est alors
(nulle à l’instant initiale, ce qui justifie l’hypothèse de départ qu’initialement, la masse est adhérente sur son support). La masse reste adhérente tant que
. Si
, la masse reste donc indéfiniment adhérente sur son support, et son mouvement est exactement le même que celui-ci. En introduisant le coefficient adimensionnel
, la condition d’adhérence permanente s’écrit
. La courbe d’accélération de la masse, comme du support, a alors l’allure suivante en fonction du temps:
Quant à la vitesse, elle a l’allure suivante (unique primitive de moyenne nulle) :
Si
, il existe un plus petit temps
tel que
. Ce plus petit temps est nécessairement tel que
, ce qui permet de supprimer la valeur absolue dans l’expression précédente, et d’obtenir de l’expression explicite
. En particulier,
.
Après cet instant, la masse glisse vers la gauche par rapport au support, donc elle vérifie l’équation dynamique
, soit
. Sa vitesse augmente donc linéairement avec le temps, en partant à
de la valeur négative
(en effet,
).
Mouvement pour
, régime de «stick-slip», succession d’adhérence et de glissement
Nécessairement, pour une certaine valeur de temps
satisfaisant
, la vitesse de la masse redevient égale à la vitesse du support. A cet instant, le mouvement redevient adhérent si et seulement si l’accélération que subit la masse au début de l’adhérence est inférieure en valeur absolue à
. On examine la traduction de cette condition dans la suite. On exprime pour commencer la valeur de
.
Le temps
satisfait l’équation
, soit
, ou encore
.
Cette équation, transcendante, permet la détermination de
en fonction de
et
, soit finalement, compte tenu de l’expression de
, la détermination de
en fonction des paramètres physiques du système
et
. Si l’accélération du support en
est inférieure en valeur absolue à
, le mouvement reste alors adhérent jusqu’à un instant
pour lequel l’accélération du support et de la masse atteignent la valeur
, instant qui pour des raisons de symétries claires sur les graphes ci-dessus, satisfait exactement
. La masse entame alors une phase de glissement jusqu’à un instant
, après lequel le mouvement se reproduit périodiquement.
On comprend que pour des valeurs suffisamment petites de
, le mouvement ne pourra pas devenir adhérent à partir du temps
, car l’accélération de la masse dépasserait le seuil
. Il existe donc une valeur critique
telle que pour
, le mouvement de la masse passe sans phase d’adhérence d’un glissement à un glissement de sens opposé. Une réflexion sur la continuité de la fonction réponse en vitesse de la masse par rapport au paramètre
montre que pour
, le mouvement ultérieur est toujours glissant (régime de «slip-slip», de sens alternés). Pour
, le mouvement alterne périodiquement des phases d’adhérence et de glissement.
La valeur critique
admet une expression analytique simple. En effet, pour
, les instants
et
sont confondus. Donc
et l’équation
devient
. En passant au carré, on obtient
, soit
.
Pour
, le mouvement n’est qu’asymptotiquement périodique. La suite
des instants de changement de sens de glissement vérifie
quand
tend vers l’infini. La figure ci‑dessous montre l’allure typique (ligne brisée) de la vitesse de la masse dans la situation de slip-slip.
Mouvement pour
: régime de «slip-slip», aucune adhérence
Résumons les conclusions:
On a le coefficient adimensionnel
et sa valeur critique * telle que
.
Si |
le régime établi est de type «stick-slip»: alternance de phases d’adhérence et de glissement; |
Si
|
le régime établi est de type «slip-slip»: glissement permanent alterné; |
Si
|
le régime établi est de type «stick»: adhérence permanente avec la base. |
Dans les résultats de comparaison calcul analytique/ Aster qui suivent, les choix de l’amplitude
sont tels que ces trois situations sont visitées. On prend en effet \(m=1\mathit{kg}\) , \(g=10m/{s}^{2}\) , \(\mu =0.1\) ,
\({a}_{0}=15m/{s}^{2}\) , \({a}_{0}=1.5m/{s}^{2}\) , \({a}_{0}=1.01m/{s}^{2}\) et \({a}_{0}=0.99m/{s}^{2}\) .
La puissance d’usure est physiquement nulle lors des phases d’adhérence.
Dans Code_Aster , avec l’opérateur dyna_VIBRA utilisé ici, l’adhérence n’est pas détectée car l’intégration du mouvement est fait par régularisation de la loi de frottement. Le respect du résultat nul de la puissance d’usure pendant des phases d’adhérence a nécessité l’introduction d’un critère sur la vitesse de glissement, pour qu’en dessous d’une certaine valeur, elle doit considérée comme nulle, et le mouvement adhérent. On peut consulter la documentation de référence Opérateur de calcul de l’usure/Modèle d’Archard [R7.04.10].
Pendant les phases de glissement, la puissance d’usure suit la loi
, où
est la vitesse relative de glissement de la masse sur le support. Dans la situation du régime de stick-slip, pour laquelle le mouvement devient strictement périodique au bout d’une temps fini, l’énergie d’usure au cours d’une demi-période est exactement
.
La formulation transcendante de
ne permet pas apparemment de simplifier l’expression de cette énergie d’usure. La puissance d’usure moyenne
est simplement l’énergie d’usure
ci-dessus divisée par la demi-période de la réponse
.
Dans le cas d’un mouvement toujours glissant (
), l’intervalle d’intégration à prendre est de la forme
avec
suffisamment grand, de sorte que
soit suffisamment proche de la valeur limite
. On peut éviter le calcul numérique par récurrence de cette suite, sachant que la moyenne de la vitesse asymptotique est nulle. En effet, la suite
a une limite finie
. Les propriétés satisfaites par
sont illustrées sur la figure suivante:
Le segment de droite a pour équation
,
et pour
, la vitesse
soit prendre la valeur opposée
, ce qui donne l’équation
,
soit
;
dont la solution est
.
Notons que l’on retrouve bien que pour
, l’accélération du support calculée au temps
donne la valeur limite
. En effet
.
Dans le cas du mouvement toujours glissant, l’énergie d’usure au cours d’une période asymptotique est exactement donnée par la formule
que l’on peut expliciter selon le calcul précédent, en prenant
et
, ce qui donne
,
soit
.
La puissance d’usure moyenne (sur une période) asymptotique est alors
.
Le programme Maple suivant permet le calcul de la puissance d’usure exacte dans un intervalle de temps spécifié, ainsi que le tracé du graphe montrant la convergence de la fonction vitesse de la masse vers une fonction périodique limite, pour toute valeur des paramètres physiques et d’excitation telles que le régime soit de type slip-slip (\(\eta \le {\eta}^{\text{*}}\) ), et la valeur exacte de la puissance moyenne d’usure sur une période (la seule utile pour ce qui nous intéresse) dans le cas du stick-slip.
# Ce programme fait le calcul, sur la partie transitoire
# du debut du signal, de la puissance d’usure exacte,
# jusqu’a un temps specifie en debut de programme.
Digits := 20 :
pi := evalf(Pi) :
T := 1 : # periode du mouvement du support
omega := 2*pi/T :
tmin := 4 :
tmax := 12 : # duree du transitoire considere
ncycle := floor(tmax/T)+2 : # nombre d’iteration de calcul de ti[i] et tf[i]
Nmax := 100*ncycle : # pour remplacer la fonction sin par une ligne brisee
m := 1 :
g := 10 :
mu := 0.1 :
a0 := 1.5 :
eta := mu*g/a0 :
omega := 2*pi/T :
etaetoile := 2/sqrt(pi^2+4) :
ti[1] := 1/omega*arcsin(eta) :
dX := t -> -a0/omega*cos(omega*t) :
dxmoins[0] := dX(t) :
lignedx := [ti[1],dX(ti[1])] :
Eusure := 0 : # l’usure est nulle sur la phase d’adherence [0, ti[1]]
#
# Noter que ti[i+1] est necessairement dans l’intervalle [i*T-T/4,i*T+T/2]
# et que tf[i] est necessairement dans l’intervalle [i*T-3*T/4, i*T].
# Ces deux intervalles se recouvrent, mais on a toujours tf[i]<ti[i+1].
#
if eta<etaetoile then # regime de slip-slip
for i from 1 to ncycle do
dxplus[i] := mu*g*(t-ti[i]) + subs(t=ti[i],dxmoins[i-1]) :
tf[i] := fsolve(dX(t)=dxplus[i], t=(i*T-3*T/4)..(i*T)) :
lignedx := lignedx, [tf[i], dX(tf[i])] :
tinf := max(ti[i], tmin) :
tsup := min(tf[i], tmax) :
if tinf<tsup then
Eusure := Eusure + int(m*g*(dX(t)-dxplus[i]), t=tinf..tsup) :
fi :
dxmoins[i] := -mu*g*(t-tf[i]) + subs(t=tf[i],dxplus[i]) :
ti[i+1] := fsolve(dX(t)=dxmoins[i], t=(i*T-T/4)..(T/2+i*T)) :
lignedx := lignedx, [ti[i+1], dX(ti[i+1])] :
tinf := max(tf[i], tmin) :
tsup := min(ti[i+1], tmax) :
if tinf<tsup then
Eusure := Eusure + int(m*g*(dxmoins[i]-dX(t)), t=tinf..tsup) :
fi :
od :
# courbedX := plot([seq([j*tmax/Nmax,dX(j*tmax/Nmax)], j=0..Nmax)]) :
# courbedx := plot([lignedx]) :
# with(plots) :
# display([courbedX, courbedx]) ;
theta := arccos(pi*eta/2)/omega :
dxinfini := t -> mu*g*(t-theta)+dX(theta) :
Vginfini := dxinfini - dX :
Eumoyana := - int(m*g*Vginfini(t), t=theta..(theta+pi/omega)) :
Eumoyanaana := m*g*a0/omega^2*sqrt(4-eta^2*pi^2) :
Pumoyana := 2*Eumoyana/T :
Pumoyanaana := 2*Eumoyanaana/T :
Pusure := Eusure/(tmax-tmin) ;
elif (eta>etaetoile and eta<1) then # regime de stick-slip
lignedx := [ti[1],dX(ti[1])] :
dxplus[1] := mu*g*(t-ti[1]) + subs(t=ti[1],dxmoins[0]) :
tf[1] := fsolve(dX(t)=dxplus[1], t=(T-3*T/4)..T) :
dxplus := unapply(dxplus[1], t) :
Vg := dxplus - dX :
Eu := -int(m*g*Vg(t),t=ti[1]..tf[1]) :
Pusuremoy := 2*Eu/T ;
else # regime d’adherence permanente
Eu := 0 ;
fi :
La solution Aster considérée est le calcul de la puissance d’usure moyenne pendant une phase transitoire allant de \(4\) à \(11,99\mathit{secondes}\) (de \(8\pi /\omega\) à \(24\pi /\omega\) ). L’énergie d’usure pendant cette durée transitoire diffère quelque peu de l’énergie d’usure moyenne (asymptotique) sur cette durée (tant en situation de stick-slip que de slip-slip). Il convient donc, pour la comparer précisément aux résultats Aster , de faire un calcul exact de cette énergie dans l’intervalle de temps \([\mathrm{4s},11,99s]\) .
Pour \({a}_{0}=\mathrm{15m}/{s}^{2}\) , la puissance d’usure moyenne asymptotique est de \(15,1146144886\mathit{Watt}\) alors que la puissance d’usure moyenne sur l’intervalle temporel \([\mathrm{4s},11,99s]\) est de \(15,257521794\mathit{Watt}\) . C’est cette dernière valeur qui constitue le résultat de référence.
Remarque:
En tant que calcul de puissance moyenne, la puissance d’usure calculée sur un intervalle n’est pas obligatoirement croissante avec la durée de l’intervalle. Si on ajoute à l’intervalle une durée sur laquelle il y a adhérence, la puissance d’usure moyenne sera plus faible.
2.1. Résultats de référence#
Valeur de l’accélération \(\mathit{max.}\mathit{a0}\) ( \({\mathit{ms}}^{-2}\) ) |
Valeur de la puissance moyenne d’usure Sur l’intervalle \([\mathrm{4s},11,99s]\) , en Watt |
15 (slip-slip) |
15,26709959 |
1,5 (stick-slip) |
0,40906245 |
1,01 (stick-slip) |
2,261641E-4 |
0,99 (stick) |
0 |
2.2. Incertitude sur la solution#
Solution quasi-analytique (présence d’équations transcendantes résolues numériquement avec une précision arbitraire).
2.3. Références bibliographiques#
WESTERMO, F. UDWADIA : Periodic Response of a sliding oscillator system to harmonic excitation. Earthquake Engineeering and structural dynamics Vol 14 135-146 (1983)
Documentation du Code_Aster [R7.04.10]