2. Solution de référence#

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#

Grâce aux symétries dans la géométrie, la formulation forte du problème devient :

\[\begin{split}\begin{align*} &\text{Trouver la température}\,T(x,y,t)\,\text{telle que}\\ &\frac{\partial T}{\partial t} - \alpha \nabla\cdot\nabla T = 0, \quad\forall (x,y)\in[0, L]^2,\,t\in[t_{initial},t_{final}];\\ &\frac{\partial T}{\partial x}(0,y,t) = 0, \quad\frac{\partial T}{\partial y}(x, 0, t) = 0;\\ &\frac{\partial T}{\partial x}(L,y,t) = -\beta(T(L,y,t) - {T}_\infty), \quad \frac{\partial T}{\partial y}(x,L,t) = -\beta(T(x,L,t) - {T}_\infty);\\ & T(x,y,0) = {T}_{0};\\ &\text{où}\,\alpha=\lambda/(\rho C_p)\,\text{and}\,\beta=h/\lambda. \end{align*}\end{split}\]

Le changement de variable \(\theta(x,y,t) = (T(x,y,t) - {T}_{\infty})/({T}_0 - {T}_{\infty})\) permet de reformuler le problème ainsi:

\[\begin{split}\begin{align*} &\text{Trouver}\,\theta(x,y,t)\,\text{tel que}\\ &\frac{\partial \theta}{\partial t} - \alpha \nabla\cdot\nabla \theta = 0;\\ &\frac{\partial \theta}{\partial x}(0, y, t) = 0, \quad\frac{\partial \theta}{\partial y}(x, 0, t) = 0;\\ &\frac{\partial \theta}{\partial x}(L, y, t) = -\beta\theta, \quad \frac{\partial \theta}{\partial y}(x, L, t) = -\beta\theta;\\ & \theta(x,y,0) = 1.\\ \end{align*}\end{split}\]

La solution analytique de ce problème thermique est estimée par décomposition en modes de Fourier:

\[\theta (x,y,t) = \sum_{i=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} { {A}_{i,j} \, \exp \left ( -{\omega}_{i}^{2} \, \alpha \, t \right ) \, \exp \left ( -{\omega}_{j}^{2} \, \alpha \, t \right ) \, \cos({\omega}_{i} x) \, \cos({\omega}_{j} y) }\]

avec les coefficients

\[{A}_{i,j} = \frac{16\sin({\omega}_{i}L)\sin({\omega}_{j}L)}{(2{\omega}_{i}L + \sin({2\omega}_{i}L))(2{\omega}_{j}L + \sin({2\omega}_{j}L))}\]

où les fréquences propres \({\omega}_{k}\), pour \(k=i,\,j\), vérifient l’équation:

\[({\omega}_{k} L)\;\tan({\omega}_{k} L) = \beta L\]

A partir des données d’entrée, les 10 premières valeurs de \(\omega_{k}\) sont 1.14222685, 3.73183809, 6.64312075, 9.67758023, 12.75984689, 15.86426476, 18.98051609, 22.10377283, 25.23150137, 28.36225198.

Finalement, on retrouve la température en faisant:

\[T(x,y,t) = \theta (x,y,t) \left( {T}_{0} - {T}_{\infty} \right) + {T}_{\infty}\]

L’évolution de la température théorique aux points A, B et C est représentée dans la figure ci-contre.

_images/Temperature_mtlp100.svg

Les valeurs de référence pour les évolutions métallurgiques dépendent du modèle et de l’intégration en temps des relations de comportement. ** On ne dispose pas de valeurs de référence ** (tests de non-régression).

La dureté d’un point matériel dépend des proportions métallurgiques de chaque phase. ** On ne dispose pas de valeurs de référence ** (tests de non-régression).

2.2. Résultats de référence#

(Calcul thermique):

  • la température aux points \(A\) , \(B\) , \(C\) à l’instant \(t=300s\) .

  • la proportion de bainite aux points \(A\) , \(B\) , \(C\) aux instants \(t=410 \, s\) et \(300 \, s\) respectivement.

  • la proportion de martensite aux points \(A\) , \(B\) , \(C\) à l’instant \(t=410 \,s\) .

  • la proportion d’austénite au point \(A\) aux instants \(t=30 \, s\) et \(140 \,s\) .

  • la dureté au point \(O\) aux instants \(t=30 \, s\), \(140 \,s\), \(300 \, s\) et \(t=410 \, s\) .

2.3. Incertitude sur la solution#

Pour la thermique: inférieure à 1% avec 30 modes pour chaque somme.

2.4. Références bibliographiques#

  1. F.P.INCROPERA, D.P.DEWITT, J. WILEY. Fundamentals of heat and mass transfer. Third Edition. 1990.