2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Le barreau est soumis à une source de chaleur \(r(T)={r}_{0}-{r}_{1}T\) , où \({r}_{1}>0\) pour des questions de stabilité thermique. Sa température initiale vaut \({T}_{0}(x)\) et les extrémités de la barre sont maintenues à une température nulle. L’évolution de température obéit à l’équation de la chaleur:

\(\rho c\dot{T}=\lambda {\nabla}^{2}T+r(T)\) ; \(T(x,0)={T}_{0}(x)\) ; \(T(-L,t)=T(L,t)=0\)

Par normalisation, on peut se ramener sans perte de généralité à l’équation suivante:

\(\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial}^{2}u}{\partial {x}^{2}}+1-{\omega}^{2}u\) ; \(u(x,0)={u}_{0}(x)\) ; \(u(-1,t)=u(1,t)=0\)

Pour résoudre cette équation, on s’intéresse d’abord à la solution asymptotique \({u}_{\infty}(x)\) qui vérifie:

\(0=\frac{{\partial}^{2}{u}_{\infty}}{\partial {x}^{2}}+1-{\omega}^{2}{u}_{\infty}\) ; \({u}_{\infty}(-1)={u}_{\infty}(1)=0\)

La solution de cette équation différentielle linéaire du second ordre vaut:

\({u}_{\infty}(x)=\frac{1}{{\omega}^{2}}(1-\frac{\cosh\omega x}{\cosh\omega })\)

La solution de l’équation transitoire est ensuite obtenue par projection de \(v=u-{u}_{\infty}\) sur les fonctions propres du Laplacien sur \(\left\rbrace -1,1\right\lbrace ` . Pour simplifier l’analyse, on adopte une condition initiale :math:`{u}_{0}\) égale au premier mode propre, à savoir:

\({u}_{0}(x)={u}_{\infty}(x)-\cos\frac{\pi x}{2}\)

Seul le premier mode étant activé, on est ramené à la résolution d’une équation différentielle en temps du premier ordre, pour obtenir finalement la solution:

\(u(x,t)={u}_{\infty}(x)-\exp(-{\omega}^{2}t-\frac{{\pi}^{2}}{4}t)\cos\frac{\pi x}{2}\)

Enfin, comme précédemment, on remonte de \(u\) à \(T\) en adoptant un jeu de paramètres spécifique, sans tenir compte des unités, de sorte que \(T=u\) . Pour cela, on prend \(\lambda ={r}_{0}=\rho c\) , \({r}_{1}={\omega}^{2}{r}_{0}\) , \(L=1\) et \({T}_{0}(x)={u}_{0}(x)\) .

2.2. Résultats de référence

Le cas-test est mené avec \(\omega =\sqrt{2}\) et on examine la température à \(t=1\) en un nœud du plan de symétrie \((x=0)\) . Les données sont les suivantes:

Conductivité thermique	LAMBDA
Capacité calorifique volumique	RHO_CP
Température initiale	\({T}_{0}\)	\({u}_{0}(x)=\frac{1}{{\omega}^{2}}(1-\frac{\cosh\omega x}{\cosh\omega })-\cos\frac{\pi x}{2}\) avec \(\omega =\sqrt{2}\)
Source de chaleur	\({r}_{0}\) \({r}_{1}\)	2. 4.

Grandeur testée	\(T\) (\(x=0,t=1\) )
Valeur de référence	\(0.258974\)