Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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Le barreau est soumis à une source de chaleur :math:`r(T)={r}_{0}-{r}_{1}T` , où :math:`{r}_{1}>0` pour des questions de stabilité thermique. Sa température initiale vaut :math:`{T}_{0}(x)` et les extrémités de la barre sont maintenues à une température nulle. L’évolution de température obéit à l’équation de la chaleur:

:math:`\rho c\dot{T}=\lambda {\nabla}^{2}T+r(T)` ; :math:`T(x,0)={T}_{0}(x)` ; :math:`T(-L,t)=T(L,t)=0`

Par normalisation, on peut se ramener sans perte de généralité à l’équation suivante:

:math:`\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial}^{2}u}{\partial {x}^{2}}+1-{\omega}^{2}u` ; :math:`u(x,0)={u}_{0}(x)` ; :math:`u(-1,t)=u(1,t)=0`

Pour résoudre cette équation, on s’intéresse d’abord à la solution asymptotique :math:`{u}_{\infty}(x)` qui vérifie:

:math:`0=\frac{{\partial}^{2}{u}_{\infty}}{\partial {x}^{2}}+1-{\omega}^{2}{u}_{\infty}` ; :math:`{u}_{\infty}(-1)={u}_{\infty}(1)=0`

La solution de cette équation différentielle linéaire du second ordre vaut:

:math:`{u}_{\infty}(x)=\frac{1}{{\omega}^{2}}(1-\frac{\cosh\omega x}{\cosh\omega })`

La solution de l’équation transitoire est ensuite obtenue par projection de :math:`v=u-{u}_{\infty}` sur les fonctions propres du Laplacien sur :math:`\left\rbrace -1,1\right\lbrace ` . Pour simplifier l’analyse, on adopte une condition initiale :math:`{u}_{0}` égale au premier mode propre, à savoir:

:math:`{u}_{0}(x)={u}_{\infty}(x)-\cos\frac{\pi x}{2}`

Seul le premier mode étant activé, on est ramené à la résolution d’une équation différentielle en temps du premier ordre, pour obtenir finalement la solution:

:math:`u(x,t)={u}_{\infty}(x)-\exp(-{\omega}^{2}t-\frac{{\pi}^{2}}{4}t)\cos\frac{\pi x}{2}`

Enfin, comme précédemment, on remonte de :math:`u` à :math:`T` en adoptant un jeu de paramètres spécifique, sans tenir compte des unités, de sorte que :math:`T=u` . Pour cela, on prend :math:`\lambda ={r}_{0}=\rho c` , :math:`{r}_{1}={\omega}^{2}{r}_{0}` , :math:`L=1` et :math:`{T}_{0}(x)={u}_{0}(x)` .


Résultats de référence
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Le cas-test est mené avec :math:`\omega =\sqrt{2}` et on examine la température à :math:`t=1` en un nœud du plan de symétrie :math:`(x=0)` . Les données sont les suivantes:


.. csv-table::

    "Conductivité thermique", "LAMBDA", "2."
    "Capacité calorifique volumique", "RHO_CP", "2."
    "Température initiale", ":math:`{T}_{0}`", ":math:`{u}_{0}(x)=\frac{1}{{\omega}^{2}}(1-\frac{\cosh\omega x}{\cosh\omega })-\cos\frac{\pi x}{2}` avec :math:`\omega =\sqrt{2}`"
    "Source de chaleur", ":math:`{r}_{0}`
    :math:`{r}_{1}`", "2.
    4."



.. csv-table::

    "Grandeur testée", ":math:`T` (:math:`x=0,t=1` )"
    "Valeur de référence", ":math:`0.258974`"