2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Dans ce problème, les conditions aux limites sont adiabatiques, la température initiale est constante égale à \({T}_{0}\) et le chargement est réduit à la source de chaleur fonction de la température \(r(T)={r}_{0}-{r}_{1}T\) où \({r}_{1}\) est positif pour des questions de stabilité thermique. Ces conditions assurent bien une solution homogène en espace. L’équation de la chaleur se réduit à:

\(\rho {C}_{p}\dot{T}={r}_{0}-{r}_{1}T\) ; \(T(0)={T}_{0}\) [éq1]

Par normalisation, on peut se ramener sans perte de généralité à l’équation suivante:

\(\dot{u}=1-\omega u\) ; \(u(0)=0\) [éq2]

La solution de cette équation différentielle du premier ordre est alors:

\(u(t)=\frac{1}{\omega}(1-{e}^{-\omega t})\)

Plutôt que de remonter de \(u\) solution de [éq2] à \(T\) solution de [éq1], on préfère adopter le jeu de paramètres suivants, sans prêter garde aux unités, qui conduit à \(T=u\) : \({T}_{0}=0\) , \({r}_{0}=\rho C\) et \({r}_{1}=\omega {r}_{0}\) .

2.2. Résultats de référence

Le cas-test est mené avec \(\omega =2\) et on examine la température à \(t=1\) en un nœud quelconque de l’élément. Les données sont les suivantes:

Conductivité thermique	LAMBDA
Capacité calorifique volumique	RHO_CP
Température initiale	\({T}_{0}\)
Source de chaleur	\({r}_{0}\) \({r}_{1}\)	2. 4.

Grandeur testée	\(T\) (\(t=1\) )
Valeur de référence	\(0.432332\)