Solution de référence
=====================


Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
--------------------------------------------------------

Dans ce problème, les conditions aux limites sont adiabatiques, la température initiale est constante égale à :math:`{T}_{0}` et le chargement est réduit à la source de chaleur fonction de la température :math:`r(T)={r}_{0}-{r}_{1}T` où :math:`{r}_{1}` est positif pour des questions de stabilité thermique. Ces conditions assurent bien une solution homogène en espace. L’équation de la chaleur se réduit à:

 :math:`\rho {C}_{p}\dot{T}={r}_{0}-{r}_{1}T` ; :math:`T(0)={T}_{0}`     [:ref:`éq1 <éq1>`]

Par normalisation, on peut se ramener sans perte de généralité à l’équation suivante:

 :math:`\dot{u}=1-\omega u` ; :math:`u(0)=0`     [:ref:`éq2 <éq2>`]

La solution de cette équation différentielle du premier ordre est alors:

 :math:`u(t)=\frac{1}{\omega}(1-{e}^{-\omega t})`

Plutôt que de remonter de :math:`u` solution de [:ref:`éq2 <éq2>`] à :math:`T` solution de [:ref:`éq1 <éq1>`], on préfère adopter le jeu de paramètres suivants, sans prêter garde aux unités, qui conduit à :math:`T=u` : :math:`{T}_{0}=0` , :math:`{r}_{0}=\rho C` et :math:`{r}_{1}=\omega {r}_{0}` .


Résultats de référence
----------------------

Le cas-test est mené avec :math:`\omega =2` et on examine la température à :math:`t=1` en un nœud quelconque de l'élément. Les données sont les suivantes:


.. csv-table::

    "Conductivité thermique", "LAMBDA", "0."
    "Capacité calorifique volumique", "RHO_CP", "2."
    "Température initiale", ":math:`{T}_{0}`", "0."
    "Source de chaleur", ":math:`{r}_{0}`
    :math:`{r}_{1}`", "2.
    4."



.. csv-table::

    "Grandeur testée", ":math:`T` (:math:`t=1` )"
    "Valeur de référence", ":math:`0.432332`"