2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence

Le résultat de référence est du type semi-analytique. L’équation 1D à résoudre est la suivante:

\(\lbrace \begin{array}{}V\beta {(T)}_{,x}-K{T}_{,xx}=0\\ \text{avec}{T}_{(x=0)}={T}_{0}\text{et}{T}_{(x=L)}={T}_{L}\end{array}\) éq 2.1-1

en intégrant l’équation [éq 2.1-1] on obtient:

\(\frac{V}{K}\beta (T)-\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dx}}=A\) éq 2.1-2

où \(A\) est une constante dépendant des conditions aux limites, du rapport \(\frac{V}{K}\) et de la fonction enthalpie \(\beta (T)\) .

Cette constante sera déterminée analytiquement.

L’équation [éq 2.1-2] conduit à:

\(x={\int}_{{T}_{0}}^{T(x)}\frac{\mathrm{dT}}{A+\frac{V}{K}\beta (T)}\) éq 2.1-3

qui doit vérifier:

\(L={\int}_{{T}_{0}}^{{T}_{L}}\frac{\mathrm{dT}}{A+\frac{V}{K}\beta (T)}\) éq 2.1-4

Connaissant \({T}_{0,}{T}_{L},L,V,t\) et \(\beta (T)\) , l’équation [éq 2.1-4] doit donner la valeur de la constante d’intégration \(A\) .

Cependant, il est difficile (voire impossible) de déterminer analytiquement cette constante, d’où le recours à une résolution numérique de l’équation [éq 2.1-4] pour déterminer \(A\) .

Avec les données du problème \(({T}_{0,}{T}_{L},{T}_{1,}{T}_{2,}{C}_{S}={C}_{l},{C}_{\mathrm{Sl}}...)\) , nous avons obtenu la solution (physique) de \(A\) qui prend la valeur \(A=-294.9117\) .

A partir de cette constante, la solution analytique du problème [éq 2.1-1] est analytique.

2.2. Résultats de référence

Abscisse	Température
0.6	387.98514
0.7	451.51001
0.725	469.72232
0.750	488.97505
0.775	509.32766
0.80	530.84296
0.825	553.58738
0.85	577.63114
0.9	683.71269
0.9125	719.51615
0.925	756.32221
0.9375	794.16795
0.95	833.07971
0.9625	873.08751
0.9750	914.22222
0.9875	956.51557