2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Le problème de mécanique statique linéaire axisymétrique considéré peut être résolu de manière analytique. On résout indépendamment la réponse à la sollicitation force volumique et force surfacique pour les sommer ensuite.
Force volumique quadratique \({F}_{V}(r)=\alpha {r}^{2}\)
On considère les équations d’équilibre en coordonnées cylindriques:
qui se simplifient étant donnée la symétrie axiale en:
En utilisant la loi de comportement puis les relations déformations-déplacements, on aboutit à l’équation différentielle suivante:
La force volumique appliquée est du type: fV= .r²
La solution de l’équation différentielle s’écrit alors:
éq 2.1-1
Les deux constantes d’intégrations \({c}_{1}\) et \({c}_{2}\) sont déterminées grâce aux conditions aux limites:
On obtient:
Force surfacique type pression \({F}_{S}({R}_{int})=P\)
Le problème à résoudre est de même nature, mais avec une force volumique appliquée nulle: \({f}_{V}=0\) soit \(\alpha =0\) .
La solution en déplacement [éq 2.1-1] s’écrit alors:
, devant respecter les conditions:
Ce qui donne:
éq 2.1-2
2.2. Résultats de référence#
Application Numérique:
|
= \(0.5m\) ; |
|
= \(1m\) ; |
|
= \(1.4m\) ; |
|
= \(10\mathrm{Pa}\) ; |
|
= \(1\mathrm{kg}/{m}^{3}\) ; |
|
= \(0.3\) ; |
|
= \(1N/{m}^{5}\) ; |
|
= \(1N/{m}^{2}\) . |
en injectant les valeurs numériques dans les solutions [éq 2.1-1] et [éq 2.1-2] on trouve après sommation:
2.3. Incertitudes sur la solution#
Nulle (solution de référence analytique).